Які координати центрального кута у правильного тридцятикутника?

Игнат

4

Для решения этой задачи, сначала нам нужно рассмотреть базовые свойства правильного треугольника. Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны и углы равны.

У правильного треугольника каждый внутренний угол равен 60 градусов. Отсюда следует, что центральный угол, опирающийся на центр окружности, образованной описанными около треугольника, будет равен 120 градусам.

Теперь обратимся к вопросу о координатах центрального угла. Представим, что правильный треугольник центрирован в начале координат на плоскости. Это значит, что каждая его вершина должна быть в равном удалении от начала координат.

Рассмотрим вершину треугольника с наименьшим значением абсциссы. Поскольку правильный треугольник симметричен, пусть эта вершина имеет координаты (x, y). Тогда вторая вершина будет иметь координаты (-x, y), а третья вершина будет иметь координаты (0, -y).

Центральный угол, опирающийся на центр окружности, будет образован прямой, соединяющей центр окружности с вершиной треугольника, имеющей координаты (0, -y). Поскольку угол вращения прямой составляет 120 градусов, чтобы найти координаты центрального угла, мы должны повернуть эту прямую на 120 градусов против часовой стрелки.

Для поворота точки против часовой стрелки на угол θ, мы можем использовать следующие формулы для новых координат (x", y"):

\[x" = x \cdot \cos(\theta) - y \cdot \sin(\theta)\]
\[y" = x \cdot \sin(\theta) + y \cdot \cos(\theta)\]

В нашем случае, мы хотим повернуть точку (0, -y) на 120 градусов. Подставив значения в формулы, получим:

\[x" = 0 \cdot \cos(120) - (-y) \cdot \sin(120) = y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[y" = 0 \cdot \sin(120) + (-y) \cdot \cos(120) = -y \cdot \frac{1}{2}\]

Таким образом, мы получаем координаты центрального угла правильного треугольника: (y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, -y \cdot \frac{1}{2}).