Які координати має точка В на діаметрі АВ кола з центром у точці С(1;2;-1)? Який радіус цього кола, якщо

Вечный_Мороз

15

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула имеет вид:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

где \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\) - координаты двух точек.

Нам даны координаты точки \(A\) и центра окружности \(C\). Для начала, найдем координаты точки \(B\).

Так как точка \(B\) находится на диаметре \(AB\) окружности с центром \(C\), то вектор \(\overrightarrow{AB}\) будет направлен вдоль этого диаметра.

Мы можем получить вектор \(\overrightarrow{AB}\), вычтя координаты центра \(C\) из координат точек \(A\) и \(B\):

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\)

Подставляя значения координат, получим следующее:

\[
\begin{align*}
\overrightarrow{AB} &= (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) \\
&= (x_B - 4, y_B - 2, z_B - 3)
\end{align*}
\]

Так как \(\overrightarrow{AB}\) коллинеарен вектору, направленному от \(C\) до \(B\), можем записать следующее равенство:

\(\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{CB}\)

где \(k\) - некоторое число.

Распишем это равенство по координатам:

\[
\begin{align*}
(x_B - 4, y_B - 2, z_B - 3) &= k \cdot (x_B - 1, y_B - 2, z_B + 1)
\end{align*}
\]

Теперь сравним координаты левой и правой частей равенства и получим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x_B - 4 = k \cdot (x_B - 1) \\
y_B - 2 = k \cdot (y_B - 2) \\
z_B - 3 = k \cdot (z_B + 1)
\end{cases}
\]

Решим данную систему уравнений:

Для первого уравнения имеем:

\[
\begin{align*}
x_B - 4 &= k \cdot (x_B - 1) \\
x_B - 4 &= k \cdot x_B - k \\
x_B - k \cdot x_B &= 4 - k \\
(1 - k) \cdot x_B &= 4 - k \\
x_B &= \frac{4 - k}{1 - k}
\end{align*}
\]

Аналогично решим остальные уравнения:

\[
\begin{align*}
y_B &= y_B \\
z_B &= \frac{3 - k}{1 + k}
\end{align*}
\]

Теперь, используя полученные значения координат \(x_B, y_B, z_B\), можем найти радиус окружности \(AC\) с помощью формулы расстояния:

\[d = \sqrt{(x_B - 1)^2 + (y_B - 2)^2 + (z_B + 1)^2}\]

Подставляя значения координат, получим:

\[d = \sqrt{\left(\frac{4 - k}{1 - k} - 1\right)^2 + (y_B - 2)^2 + \left(\frac{3 - k}{1 + k} + 1\right)^2}\]

Это выражение позволит нам вычислить радиус окружности.

Итак, мы определили точку \(B\) с координатами \(x_B, y_B, z_B\) и расстояние от центра \(C\) до точки \(B\) (радиус окружности). Остается только подставить значения и получить ответ на задачу.