Які координати точки перетину двох площин 3x-4y-9z-4=0 і 6x-8y-18z-8=0?

Парящая_Фея_962

6

Для решения данной задачи, нам понадобится найти координаты точки пересечения двух плоскостей. Для этого воспользуемся методом подстановки.

Первым шагом нам необходимо составить систему уравнений, используя уравнения плоскостей:

\[
\begin{align*}
3x-4y-9z-4 = 0 \quad \quad \quad \quad \quad (1)\\
6x-8y-18z-8 = 0 \quad \quad \quad \quad \quad (2)
\end{align*}
\]

Теперь мы можем выбрать одну из переменных, например, \(x\), и выразить ее через другие переменные, используя оба уравнения. Возьмем уравнение (1) и выразим \(x\):

\[
3x = 4y + 9z + 4 \quad \quad \quad \quad \quad (3)
\]

Теперь подставим полученное выражение для \(x\) во второе уравнение (2):

\[
6(4y + 9z + 4) - 8y - 18z - 8 = 0
\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[
24y + 54z + 24 - 8y - 18z - 8 = 0
\]

Упростим уравнение:

\[
16y + 36z + 16 = 0 \quad \quad \quad \quad \quad (4)
\]

Теперь мы имеем систему уравнений, в которой присутствуют только две переменные \(y\) и \(z\). Решим систему уравнений (3) и (4) с помощью метода подстановки.

Возьмем уравнение (4) и выразим из него \(y\):

\[
16y = -36z - 16 \quad \quad \quad \quad \quad (5)
\]

Теперь подставим выражение для \(y\) в уравнение (3):

\[
3x = 4(-36z - 16) + 9z + 4
\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[
3x = -144z - 64 + 9z + 4
\]

Упростим уравнение:

\[
3x = -135z - 60 \quad \quad \quad \quad \quad (6)
\]

Из уравнения (6) мы можем выразить \(x\) через \(z\):

\[
x = -45z - 20 \quad \quad \quad \quad \quad (7)
\]

Теперь у нас есть выражения для \(x\), \(y\) и \(z\). Мы можем подставить их обратно в одно из изначальных уравнений, например, в уравнение (1), чтобы найти значения \(x\), \(y\) и \(z\).

Подставим выражения (7) и (5) в уравнение (1):

\[
3(-45z - 20) - 4(-36z - 16) - 9z - 4 = 0
\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[
-135z - 60 + 144z + 64 - 9z - 4 = 0
\]

Упростим уравнение:

\[
0 = 0
\]

Уравнение получается верным для любого значения \(z\). Это значит, что плоскости пересекаются по прямой линии.

Теперь мы можем выбрать любое значение \(z\) и вычислить соответствующие значения \(x\) и \(y\), используя выражения (7) и (5).

Например, возьмем \(z = 0\):

\[
x = -45(0) - 20 = -20
\]
\[
y = -36(0) - 16 = -16
\]

Таким образом, получаем точку пересечения плоскостей с координатами \((-20, -16, 0)\).

Итак, координаты точки пересечения двух плоскостей \(3x-4y-9z-4=0\) и \(6x-8y-18z-8=0\) равны \((-20, -16, 0)\).