Які координати точки перетину сфери з центром у (-1, 3, 2) з віссю ординат у точках В (0, -1, 0

Valentin

8

Для решения данной задачи рассмотрим уравнение сферы с центром в точке \((-1, 3, 2)\). Обозначим радиус сферы через \(r\). Тогда уравнение сферы будет иметь вид:

\[(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = r^2\]

Также у нас есть прямая, заданная точками \((0, -1, 0)\) и \((0, 1, 0)\). Уравнение прямой имеет вид:

\[\begin{cases}
x = 0 \\
y = -1 + t \\
z = 0
\end{cases}\]

где \(t\) - параметр, пробегающий все действительные числа.

Чтобы найти точку пересечения сферы и прямой, подставим уравнение прямой в уравнение сферы:

\[(0 + 1)^2 + (-1 + t - 3)^2 + (0 - 2)^2 = r^2\]

Упростим это уравнение:

\[2^2 + (-4 + t)^2 + (-2)^2 = r^2\]

\[4 + (-4 + t)^2 + 4 = r^2\]

Отсюда получаем:

\[(t - 4)^2 + 8 = r^2\]

Таким образом, у нас получилось уравнение, связывающее параметр \(t\) и радиус сферы \(r\).

Окончательный ответ будет представляться в виде пары точек: \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\). Чтобы получить эти точки, необходимо решить систему уравнений:

\[\begin{cases}
\begin{aligned}
x_1 &= 0 \\
y_1 &= -1 + t_1 \\
z_1 &= 0
\end{aligned}
\end{cases}\]

и

\[\begin{cases}
\begin{aligned}
x_2 &= 0 \\
y_2 &= -1 + t_2 \\
z_2 &= 0
\end{aligned}
\end{cases}\]

вместе с уравнением \((t - 4)^2 + 8 = r^2\), где \(t_1\) и \(t_2\) являются корнями этого уравнения.

Полученные значения \(x_1, y_1, z_1\) и \(x_2, y_2, z_2\) будут являться координатами точек пересечения сферы и прямой. Подставляя полученные значения, вы получите конкретные координаты искомых точек пересечения.