Які квадратні рівняння мають √2 як корені?

Татьяна

25

Чтобы найти квадратные уравнения, у которых корнем является число \(\sqrt{2}\), нам нужно использовать свойство квадратных корней.

Во-первых, вспомним определение квадратного уравнения. Квадратное уравнение имеет следующий вид:
\[ax^2 + bx + c = 0\]
где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты уравнения, \(x\) - неизвестная переменная.

Теперь, если \(\sqrt{2}\) является корнем этого уравнения, то мы можем подставить значение \(\sqrt{2}\) вместо \(x\) и должны получить верное утверждение.

Заменим \(x\) на \(\sqrt{2}\) в нашем квадратном уравнении:
\[a(\sqrt{2})^2 + b\sqrt{2} + c = 0\]
Упростим это выражение:
\[2a + b\sqrt{2} + c = 0\]

Теперь мы имеем два члена, содержащих \(\sqrt{2}\) - это \(b\sqrt{2}\) и константа \(2a + c\). Чтобы получить квадратное уравнение с корнем \(\sqrt{2}\), оба этих члена должны быть равны нулю.

\[b\sqrt{2} = 0\]
Очевидно, что это уравнение имеет единственное решение - \(b = 0\).

Теперь найдем значение \(2a + c\):
\[2a + c = 0\]
Это уравнение имеет переменные \(a\) и \(c\), и оно может иметь бесконечное количество решений. Мы можем выбрать любые значения \(a\) и \(c\) так, чтобы их сумма равнялась нулю. Например, если мы возьмем \(a = 1\) и \(c = -2\), то \(2a + c = 2 \cdot 1 + (-2) = 0\).

Таким образом, любое квадратное уравнение, у которого корнем является \(\sqrt{2}\), будет иметь вид:
\[bx = 0\]

Где \(b\) - это любое действительное число, и \(x\) заменено на \(\sqrt{2}\).

Надеюсь, это решение поможет вам понять, какие квадратные уравнения имеют \(\sqrt{2}\) в качестве корней. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь спрашивать!