Які міри можна використати для обчислення площі фігури, яка обмежується кривими y=x^2, y=0 і x=2?

Виталий

33

Для обчислення площі фігури, обмеженої кривими \(y=x^2\), \(y=0\) і \(x=2\), можна скористатися методом підрахунку площі між двома кривими. Слід підрахувати площу обмеженої фігури на інтервалі від \(x=0\) до \(x=2\).

Спочатку розглянемо криву \(y=x^2\). Зазначена крива є параболою, яка відкривається вгору. Її вершина знаходиться в точці (0, 0). Зрозуміло, що ця крива перетинає ось \(x\) в \(x=0\) і \(x=2\). Тому ми обмежуємо область підрахунку площі від \(x=0\) до \(x=2\).

Тепер розглянемо другу криву \(y=0\). Це просто горизонтальна лінія, яка перетинає ось \(x\) в \(y=0\). Ця крива також обмежує площу фігури від \(x=0\) до \(x=2\).

Отже, щоб підрахувати площу фігури, потрібно застосувати формулу для обчислення площі між двома кривими. Для двох кривих \(y=f(x)\) та \(y=g(x)\) на інтервалі \([a, b]\), площу між цими кривими можна обчислити за формулою:

\[
S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx
\]

У нашому випадку, \(a=0\), \(b=2\), \(f(x) = x^2\) та \(g(x) = 0\), отже формула стає:

\[
S = \int_{0}^{2} |x^2 - 0| dx
\]

Підставляючи значення, отримуємо:

\[
S = \int_{0}^{2} x^2 dx
\]

Інтегруємо це вираз:

\[
S = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^2 = \frac{1}{3}(2^3) - \frac{1}{3}(0^3) = \frac{8}{3}
\]

Таким чином, площа фігури, обмеженої кривими \(y=x^2\), \(y=0\) і \(x=2\), дорівнює \(\frac{8}{3}\) квадратними одиницями.