Які ємність конденсаторів були виміряні приладом з систематичною помилкою (рівень складає m = 2) у результаті
Які ємність конденсаторів були виміряні приладом з систематичною помилкою (рівень складає m = 2) у результаті 20 вимірів? Отримані відхилення від номіналу в пікофарадах такі: 3.42, 0.34, 1.97, 5.20, -0.14, 1.04, -1.71, -1.25, 4.61, 8.95, 2.94, -1.81, 3.69, 0.62, 4.43, 4.71, -1.63, 2.00, 0.63, 5.45. Потрібно знайти 99%-й довірчий інтервал для дисперсії. Будь ласка, вкажіть верхню межу інтервалу.
Чайный_Дракон_6160 22
Для розрахунку 99%-го довірчого інтервалу для дисперсії, спочатку потрібно знайти дисперсію вибірки.1. Спочатку знайдемо середнє значення відхилень від номіналу конденсаторів:
\[ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
де \(x_i\) - відхилення від номіналу, \(n\) - кількість вимірів.
У нашому випадку:
\[ \overline{x} = \frac{1}{20} \cdot (3.42 + 0.34 + 1.97 + 5.20 + (-0.14) + 1.04 + (-1.71) + (-1.25) + 4.61 + 8.95 + 2.94 + (-1.81) + 3.69 + 0.62 + 4.43 + 4.71 + (-1.63) + 2.00 + 0.63 + 5.45) \]
Обчислюючи, отримуємо:
\[ \overline{x} = 1.97 \]
2. Знайдемо виправлене середнє квадратичне відхилення (S):
\[ S = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2} \]
У нашому випадку:
\[ S = \sqrt{\frac{1}{20-1} \cdot ((3.42-1.97)^2 + (0.34-1.97)^2 + (1.97-1.97)^2 + (5.20-1.97)^2 + (-0.14-1.97)^2 + (1.04-1.97)^2 + (-1.71-1.97)^2 + (-1.25-1.97)^2 + (4.61-1.97)^2 + (8.95-1.97)^2 + (2.94-1.97)^2 + (-1.81-1.97)^2 + (3.69-1.97)^2 + (0.62-1.97)^2 + (4.43-1.97)^2 + (4.71-1.97)^2 + (-1.63-1.97)^2 + (2.00-1.97)^2 + (0.63-1.97)^2 + (5.45-1.97)^2)} \]
Обчислюючи, отримуємо:
\[ S \approx 2.77 \]
3. Знайдемо верхню межу довірчого інтервалу (U):
\[ U = \frac{(n-1) \cdot S^2}{\chi^2_{\frac{1-\alpha}{2}, n-1}} \]
де \(\chi^2_{\frac{1-\alpha}{2}, n-1}\) - критичне значення розподілу хі-квадрат для рівня значимості \(\alpha\) і ступенів свободи \(n-1\).
У нашому випадку, за умовою задачі рівень значимості \(\alpha = 0.01\) (99%) і кількість вимірів \(n = 20\).
Для \(n-1 = 19\) і \(\alpha = 0.01\) критичне значення розподілу хі-квадрат дорівнює приблизно 38.58 (можна знайти його в таблиці або використати функцію розподілу хі-квадрат в програмному забезпеченні).
Підставляючи ці значення в формулу, отримуємо:
\[ U = \frac{19 \cdot 2.77^2}{38.58} \]
Обчислюючи, отримуємо:
\[ U \approx 1.986 \]
Таким чином, верхня межа 99%-го довірчого інтервалу для дисперсії дорівнює приблизно 1.986.