Які параметри коливань (частота, період, амплітуда) і довжина математичного маятника можуть бути визначені за рівнянням

Сквозь_Туман

34

Добре, розглянемо задачу про математичний маятник.
У рівнянні, яке ви наводите, \(x = 4\sin(2t)\), величина \(x\) позначає відхилення (або виступ) від положення рівноваги, а \(t\) - час.

1. Щоб знайти параметри коливань (частоту, період та амплітуду), ми повинні оцінити, в який момент часу максимальне відхилення спостерігається і яку величину має це максимальне відхилення.

Почнемо з амплітуди коливань. Амплітуда - це максимальне відхилення від положення рівноваги. В вашому рівнянні амплітуда дорівнює 4, тому амплітуда коливань цього маятника становить 4 метри.

Тепер перейдемо до частоти коливань. Частота - це кількість повних коливань, які здійснює маятник за одиницю часу. У вашому випадку, рівняння \(x = 4\sin(2t)\) має множник 2 перед \(t\), що вказує на частоту. Частота дорівнює коефіцієнту перед \(t\), тобто частота коливань цього маятника буде 2 Гц (Герц) або 2 коливання за секунду.

Перейдемо до періоду коливань. Період - це час, через який маятник повертається в початкове положення після одного повного коливання. Ви можете обчислити період, обернувши частоту. У вашому випадку період коливань буде 1/2 секунди або 0.5 секунди.

2. Тепер давайте розглянемо, яку жорсткість пружини потрібно мати, щоб забезпечити коливання з такою самою частотою (2 Гц), як у заданому рівнянні.

Для математичного маятника, якого довжина дорівнює \(L\) і маса дорівнює \(m\), частота коливань (в Герцах) визначається формулою:

\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}\]

де \(g\) - прискорення вільного падіння (приблизно 9.8 м/с²).

У вашому випадку, маса тіла дорівнює 2 кг, а частота коливань - 2 Гц. Ми маємо знайти жорсткість пружини \(k\).

Спочатку перетворимо формулу на пошук квадрату довжини маятника \(L\):

\[L = \frac{g}{(2\pi f)^2}\]

Підставимо відомі значення:

\[L = \frac{9.8}{(2\pi \cdot 2)^2}\]

Обчислимо:

\[L \approx 0.123 \, \text{м}\]

Тепер знаходжу значення жорсткості пружини \(k\) за формулою:

\[k = \frac{4\pi^2 m}{L}\]

Підставим всі відомі значення:

\[k = \frac{4\pi^2 \cdot 2}{0.123}\]

Обчислимо:

\[k \approx 643.012 \, \text{Н}/\text{м}\]

Тому, щоб забезпечити коливання з такою самою частотою, жорсткість пружини повинна бути приблизно 643.012 Н/м.

3. Отже, параметри коливань математичного маятника згідно заданого рівняння \(x = 4\sin(2t)\) складаються з амплітуди 4 метри, частоти 2 Гц і періоду 0.5 секунди. Щоб забезпечити коливання з такою ж частотою, жорсткість пружини повинна бути приблизно 643.012 Н/м.