Які рівняння можна скласти, щоб корені були на 3 більші, ніж корені рівняння х2-2х-7=0?

Ящерица

22

Щоб знайти рівняння, корені якого будуть на 3 більші, ніж корені рівняння \(x^2 - 2x - 7 = 0\), ми можемо скористатися поняттям трансформації рівнянь.

1. Спочатку знайдемо корені рівняння \(x^2 - 2x - 7 = 0\). Для цього можемо скористатися формулою дискримінанту для квадратного рівняння: \(D = b^2 - 4ac\), де \(a\), \(b\) і \(c\) - коефіцієнти квадратного рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\).

У нашому випадку \(a = 1\), \(b = -2\) і \(c = -7\), тому

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32\]

2. Тепер обчислимо корені рівняння \(x^2 - 2x - 7 = 0\), використовуючи формулу коренів квадратних рівнянь:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Підставимо в формулу наші значення:

\[x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2}\]

Одержали два корені: \(x_1 = 1 + 2\sqrt{2}\) та \(x_2 = 1 - 2\sqrt{2}\).

3. Щоб знайти рівняння, корені якого будуть на 3 більші, ніж корені \(x^2 - 2x - 7 = 0\), треба до кожного з цих коренів \(x_1\) і \(x_2\) додати 3:

\[x_1 + 3 = (1 + 2\sqrt{2}) + 3 = 4 + 2\sqrt{2}\]

\[x_2 + 3 = (1 - 2\sqrt{2}) + 3 = 4 - 2\sqrt{2}\]

Таким чином, рівняннями, корені яких будуть на 3 більші, ніж корені \(x^2 - 2x - 7 = 0\), є:

\[x = 4 + 2\sqrt{2}\] або \[x = 4 - 2\sqrt{2}\]

Я сподіваюся, що цей вичерпний розв"язок буде зрозумілим для вас. Якщо у вас виникають будь-які додаткові питання, будь ласка, не соромтеся їх задавати!