Які шанси на те, що добуток чисел, вибраних на двох картках випадковим чином, буде кратним заданому числу?

Цыпленок

22

Чтобы найти вероятность того, что произведение двух чисел, выбранных на двух карточках случайным образом, будет кратным заданному числу, нам нужно разделить количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов.

Пусть заданное число, кратность которому мы исследуем, будет обозначено как \(N\). Мы должны учитывать такие исходы, где произведение двух выбранных чисел делится на \(N\).

Для начала, рассмотрим, какие числа могут быть записаны на карточках. Пусть первая карточка может иметь любое целое число от \(a\) до \(b\), включая оба значения (обозначим это как \(a \leq x \leq b\)), а вторая карточка может иметь любое целое число от \(c\) до \(d\) (обозначим это как \(c \leq y \leq d\)).

Теперь рассмотрим, какие пары чисел \((x, y)\) удовлетворяют условию \(xy \equiv 0 \mod N\), то есть произведение этих чисел делится на \(N\). Это возможно, если хотя бы одно из чисел \(x\) или \(y\) делится на \(N\).

Давайте разберемся с этим подробнее. Возьмем пример, когда \(N = 6\). Какие целые числа могут делиться на 6? Это могут быть числа 6, 12, 18, и так далее. Заметим, что если число делится на 6, то произведение этого числа на любое другое число также будет делиться на 6, поскольку 6 является делителем.

Предположим, мы выбрали число \(x\) на первой карточке. Чтобы произведение \(xy\) было кратно 6, нам нужно выбрать такое число \(y\), которое делится на 6. Это означает, что все числа второй карточки должны быть кратны 6.

Аналогично, мы можем рассмотреть другие возможные значения \(N\) и составить таблицу с числами, кратными \(N\). Например, для \(N = 4\) это будут числа 4, 8, 12 и т.д., а для \(N = 10\) - это числа 10, 20, 30 и т.д.

Теперь, чтобы найти вероятность того, что произведение двух случайно выбранных чисел будет кратным \(N\), мы должны учесть количество благоприятных исходов и разделить на общее количество возможных исходов.

Количество благоприятных исходов будет равно количеству чисел в указанной таблице, кратных \(N\), взятым попарно. Общее количество возможных исходов будет равно количеству чисел на каждой карточке, умноженному друг на друга.

Давайте также рассмотрим пример. Пусть первая карточка может принимать значения от 1 до 10, а вторая карточка - от 1 до 5. Таким образом, \(a = 1\), \(b = 10\), \(c = 1\) и \(d = 5\). Наше \(N = 6\).

Числа, кратные 6, в указанном диапазоне - это 6 и 12. Количество благоприятных исходов будет равно 2 (потому что есть два числа, 6 и 12, которые могут быть выбраны на первой карточке) и общее количество возможных исходов будет равно \(10 \times 5 = 50\).

Таким образом, вероятность того, что произведение двух чисел, выбранных на случайных карточках, будет кратным 6, равна \(\frac{2}{50} = \frac{1}{25}\).

Итак, чтобы найти вероятность, нужно определить таблицу кратных чисел \(N\) в заданном диапазоне, подсчитать количество чисел в этой таблице, взятых попарно, и разделить на общее количество возможных комбинаций чисел на карточках.