Які значення мають перший член, знаменник та сума восьмого члена геометричної прогресії, якщо b3=4 і b6=32?

Mishutka

13

Для решения данной задачи, нам нужно использовать формулы для геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего путем умножения на постоянное число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Первый шаг - найти знаменатель прогрессии \(q\), используя уже имеющуюся информацию из задачи. Мы знаем, что \(b_3 = 4\) и \(b_6 = 32\). Зная, что каждый следующий член прогрессии получается из предыдущего путем умножения на \(q\), мы можем составить соотношение:

\[b_3 = b_1 \cdot q^2\] (1)
\[b_6 = b_1 \cdot q^5\] (2)

где \(b_1\) - первый член прогрессии.

Для того чтобы исключить \(b_1\) из системы уравнений (1) и (2), делим уравнение (2) на уравнение (1):

\[\frac{b_6}{b_3} = \frac{(b_1 \cdot q^5)}{(b_1 \cdot q^2)}\]

Сокращаем \(b_1\):

\[\frac{b_6}{b_3} = \frac{q^5}{q^2}\]

Сокращаем \(q^2\):

\[\frac{b_6}{b_3} = q^3\]

Теперь у нас есть соотношение для \(q^3\). Мы можем найти значение \(q\) возведением обеих сторон в степень \(1/3\):

\[q = \left(\frac{b_6}{b_3}\right)^{1/3}\]

В нашем случае:

\[q = \left(\frac{32}{4}\right)^{1/3} = 2\]

Теперь, когда у нас есть значение \(q\), мы можем использовать его для нахождения других характеристик прогрессии.

Пусть \(b_1\) - первый член прогрессии, \(b_8\) - восьмой член прогрессии, \(S_8\) - сумма первых восьми членов прогрессии.

Мы знаем, что в геометрической прогрессии \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Следовательно, для восьмого члена прогрессии:

\[b_8 = b_1 \cdot q^7\]

А для суммы первых восьми членов:

\[S_8 = b_1 \cdot \frac{1 - q^8}{1 - q}\]

Теперь мы можем найти соответствующие значения, используя найденное значение \(q\):

\[b_8 = b_1 \cdot q^7 = b_1 \cdot 2^7 = 128 \cdot b_1\]

\[S_8 = b_1 \cdot \frac{1 - q^8}{1 - q} = b_1 \cdot \frac{1 - 2^8}{1 - 2} = b_1 \cdot \frac{1 - 256}{-1} = b_1 \cdot 255\]

Таким образом, значения первого члена \(b_1\), знаменника \(q\) и суммы восьмого члена \(b_8\) геометрической прогрессии равны:

\(b_1 = \frac{b_8}{128} = \frac{128}{128} = 1\)

\(q = 2\)

\(S_8 = b_1 \cdot 255 = 1 \cdot 255 = 255\)

Итак, первый член равен 1, знаменник равен 2, а сумма восьмого члена равна 255.