Які значення мають перший член, знаменник та сума восьмого члена геометричної прогресії, якщо b3=4 і b6=32?

  • 18
Які значення мають перший член, знаменник та сума восьмого члена геометричної прогресії, якщо b3=4 і b6=32?
Mishutka
13
Для решения данной задачи, нам нужно использовать формулы для геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего путем умножения на постоянное число q, называемое знаменателем прогрессии.

Первый шаг - найти знаменатель прогрессии q, используя уже имеющуюся информацию из задачи. Мы знаем, что b3=4 и b6=32. Зная, что каждый следующий член прогрессии получается из предыдущего путем умножения на q, мы можем составить соотношение:

b3=b1q2 (1)
b6=b1q5 (2)

где b1 - первый член прогрессии.

Для того чтобы исключить b1 из системы уравнений (1) и (2), делим уравнение (2) на уравнение (1):

b6b3=(b1q5)(b1q2)

Сокращаем b1:

b6b3=q5q2

Сокращаем q2:

b6b3=q3

Теперь у нас есть соотношение для q3. Мы можем найти значение q возведением обеих сторон в степень 1/3:

q=(b6b3)1/3

В нашем случае:

q=(324)1/3=2

Теперь, когда у нас есть значение q, мы можем использовать его для нахождения других характеристик прогрессии.

Пусть b1 - первый член прогрессии, b8 - восьмой член прогрессии, S8 - сумма первых восьми членов прогрессии.

Мы знаем, что в геометрической прогрессии bn=b1qn1. Следовательно, для восьмого члена прогрессии:

b8=b1q7

А для суммы первых восьми членов:

S8=b11q81q

Теперь мы можем найти соответствующие значения, используя найденное значение q:

b8=b1q7=b127=128b1

S8=b11q81q=b112812=b112561=b1255

Таким образом, значения первого члена b1, знаменника q и суммы восьмого члена b8 геометрической прогрессии равны:

b1=b8128=128128=1

q=2

S8=b1255=1255=255

Итак, первый член равен 1, знаменник равен 2, а сумма восьмого члена равна 255.