Какое количество возможных наборов из 7 шаров можно составить из общего числа 18 шаров, которые пронумерованы от

Солнечный_Пирог_2992

57

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику. Мы должны найти количество возможных наборов из 7 шаров, когда есть общее количество 18 шаров, пронумерованных от 1 до 18, и при условии, что шары с номерами 8 и 12 не могут одновременно присутствовать в наборе.

Давайте разобьем эту задачу на несколько шагов:

Шаг 1: Найдем общее количество возможных наборов из 7 шаров из общего числа 18 шаров без каких-либо ограничений.

Чтобы найти общее количество возможных наборов из 7 шаров из общего числа 18 шаров (без ограничений), мы можем использовать формулу сочетания. Формула для сочетания выглядит следующим образом:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов в наборе.

В нашем случае, \(n = 18\) и \(k = 7\). Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\(\binom{18}{7} = \frac{18!}{7!(18-7)!}\)

Теперь нам нужно вычислить это значение.

\(\binom{18}{7} = \frac{18!}{7!11!}\)

Шаг 2: Найдем количество наборов, в которых шары с номерами 8 и 12 не могут одновременно присутствовать.

Чтобы решить это, мы должны рассмотреть два случая:

Случай 1: Шар с номером 8 присутствует в наборе (а шар с номером 12 - нет).

В этом случае, нам нужно выбрать 6 шаров из оставшихся 16 шаров (исключая шар номер 8) без ограничений на наличие шара номер 12. Мы можем использовать ту же формулу сочетания, где \(n = 16\) и \(k = 6\).

\(\binom{16}{6} = \frac{16!}{6!(16-6)!}\)

Случай 2: Шар с номером 12 присутствует в наборе (а шар с номером 8 - нет).

В этом случае, нам также нужно выбрать 6 шаров из оставшихся 16 шаров (исключая шар номер 12) без ограничений на наличие шара номер 8. Опять же, мы можем использовать формулу сочетания.

\(\binom{16}{6} = \frac{16!}{6!(16-6)!}\)

Шаг 3: Суммируем результаты для двух случаев.

Теперь нам нужно сложить результаты из двух случаев для получения общего количества наборов, удовлетворяющих условию задачи.

Общее количество наборов = количество наборов в Случае 1 + количество наборов в Случае 2

Общее количество наборов = \(\binom{16}{6} + \binom{16}{6}\)

Теперь давайте вычислим эти значения и сложим их:

\(\binom{16}{6} = \frac{16!}{6!(16-6)!}\)

\(\binom{16}{6} = \frac{16!}{6!10!}\)

\(\binom{16}{6} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}{6! \cdot 10!}\)

Теперь давайте вычислим значение \(\binom{16}{6}\):

\(\binom{16}{6} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}{6! \cdot 10!}\)

\(\binom{16}{6} = 8008\)

Суммируем результаты:

Общее количество наборов = 8008 + 8008

Общее количество наборов = 16016

Таким образом, с учетом условий задачи, можно составить 16016 различных наборов из 7 шаров из общего числа 18 шаров, которые пронумерованы от 1 до 18.