Які значення x викликають збільшення функції f(x) = 24x—2x3?

Черная_Роза

14

Щоб знайти значення $x$, які викликають збільшення функції $f(x)=24x-2x^3$, ми повинні знайти похідну цієї функції та визначити, коли ця похідна є додатною.

Спочатку візьмемо похідну функції $f(x)$. Для цього ми застосуємо правила похідних до кожного окремого члена функції:

$$f"(x)=(24x-2x^3)"=24-(2x^3)"$$

Для знаходження похідної $(2x^3)"$ ми використовуємо правило диференціювання степеневого функції, де $n$ є показником степені:

$$(2x^3)"=3\cdot 2x^{3-1}=6x^2$$

Тепер, підставляючи це значення у похідну $f"(x)$, ми отримуємо:

$$f"(x)=24-6x^2$$

Тепер нам потрібно встановити, коли функція $f"(x)$ є додатною. Іншими словами, коли значення $f"(x)$ більше за нуль.

$$24-6x^2>0$$

Аби вирішити це нерівняння, спочатку виділимо з нього $6$, щоб спростити:

$$6(4-x^2)>0$$

Тепер розділимо на $6$ обидві частини нерівняння:

$$4-x^2>0$$

Ми помітимо, що ліва частина нерівняння є різницею квадратів. Ми можемо спростити її, використовуючи правило різниці квадратів:

$$(2-x)(2+x)>0$$

Зараз нам потрібно зорієнтуватися на те, коли ця нерівність є більшою за нуль. За правилом множника нерівності, якщо добуток двох чисел є більшим за нуль, то обидва множники повинні мати один і той же знак. Отже, ми маємо два випадки:

1. Коли $2-x>0$ та $2+x>0$:
$$2-x>0\Rightarrow x<2$$
$$2+x>0\Rightarrow x>-2$$
В цьому випадку значення $x$ повинно бути між $-2$ та $2$.

2. Коли $2-x<0$ та $2+x<0$:
$$2-x<0\Rightarrow x>2$$
$$2+x<0\Rightarrow x<-2$$
В цьому випадку значення $x$ повинно бути за межами проміжку $-2$ до $2$.

Отже, ми приходимо до висновку, що значення $x$, які викликають збільшення функції $f(x)=24x-2x^3$, є всі значення $x$, що належать проміжку $(-2,2)$.