Які значення x викликають збільшення функції f(x) = 24x—2x3?

Черная_Роза

14

Щоб знайти значення \(x\), які викликають збільшення функції \(f(x) = 24x - 2x^3\), ми повинні знайти похідну цієї функції та визначити, коли ця похідна є додатною.

Спочатку візьмемо похідну функції \(f(x)\). Для цього ми застосуємо правила похідних до кожного окремого члена функції:

\[f"(x) = (24x - 2x^3)" = 24 - (2x^3)"\]

Для знаходження похідної \((2x^3)"\) ми використовуємо правило диференціювання степеневого функції, де \(n\) є показником степені:

\[(2x^3)" = 3 \cdot 2x^{3-1} = 6x^2\]

Тепер, підставляючи це значення у похідну \(f"(x)\), ми отримуємо:

\[f"(x) = 24 - 6x^2\]

Тепер нам потрібно встановити, коли функція \(f"(x)\) є додатною. Іншими словами, коли значення \(f"(x)\) більше за нуль.

\[24 - 6x^2 > 0\]

Аби вирішити це нерівняння, спочатку виділимо з нього \(6\), щоб спростити:

\[6(4 - x^2) > 0\]

Тепер розділимо на \(6\) обидві частини нерівняння:

\[4 - x^2 > 0\]

Ми помітимо, що ліва частина нерівняння є різницею квадратів. Ми можемо спростити її, використовуючи правило різниці квадратів:

\[(2 - x)(2 + x) > 0\]

Зараз нам потрібно зорієнтуватися на те, коли ця нерівність є більшою за нуль. За правилом множника нерівності, якщо добуток двох чисел є більшим за нуль, то обидва множники повинні мати один і той же знак. Отже, ми маємо два випадки:

1. Коли \(2 - x > 0\) та \(2 + x > 0\):
\[2 - x > 0 \Rightarrow x < 2\]
\[2 + x > 0 \Rightarrow x > -2\]
В цьому випадку значення \(x\) повинно бути між \(-2\) та \(2\).

2. Коли \(2 - x < 0\) та \(2 + x < 0\):
\[2 - x < 0 \Rightarrow x > 2\]
\[2 + x < 0 \Rightarrow x < -2\]
В цьому випадку значення \(x\) повинно бути за межами проміжку \(-2\) до \(2\).

Отже, ми приходимо до висновку, що значення \(x\), які викликають збільшення функції \(f(x) = 24x - 2x^3\), є всі значення \(x\), що належать проміжку \((-2, 2)\).