Які значення x викликають зростання функції f(x)=24x-2x^3?

Nikolaevich

52

Хорошо, давайте посмотрим на заданную функцию \( f(x) = 24x - 2x^3 \) и определим значения \( x \), при которых функция возрастает.

Чтобы найти моменты возрастания функции, нам понадобится первая производная функции. Производная показывает скорость изменения функции в каждой точке.

Найдем производную \( f"(x) \):
\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(24x - 2x^3) = 24 - 6x^2 \]

Теперь, чтобы найти значения \( x \), которые вызывают возрастание функции, нужно решить неравенство \( f"(x) > 0 \). Это означает, что производная должна быть больше нуля.

Решим неравенство \( 24 - 6x^2 > 0 \):
\[ -6x^2 + 24 > 0 \]

Мы можем раскрыть скобку и упростить неравенство:
\[ -2x^2 + 8 > 0 \]

Для начала, разделим обе части на -2, чтобы упростить выражение:
\[ x^2 - 4 < 0 \]

Теперь нам нужно найти значения \( x \), удовлетворяющие этому неравенству. Для этого мы можем построить таблицу знаков или использовать факторизацию.

Перепишем неравенство в виде:
\[ (x - 2)(x + 2) < 0 \]

Теперь рассмотрим каждый множитель:
1. Для \( x - 2 < 0 \) (то есть \( x < 2 \)) неравенство будет выполняться.
2. Для \( x + 2 < 0 \) (то есть \( x < -2 \)) неравенство также будет выполняться.

Таким образом, значения \( x \), которые вызывают возрастание функции \( f(x) \), будут между -2 и 2.

Ответ: \(-2 < x < 2\)