Яких значеннях параметра а добуток коренів рівняння х2+(а-1)х+а2+3а=0 дорівнює?

Шмель_1415

21

Давайте решим данное квадратное уравнение:

\[x^2 + (a-1)x + a^2 + 3a = 0\]

Для начала, давайте найдем дискриминант этого уравнения, чтобы определить, сколько корней оно имеет. Дискриминант вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения. В данном случае, \(a = 1\), \(b = (a-1)\) и \(c = a^2 + 3a\). Подставим значения в формулу для дискриминанта:

\[D = (a-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 3a)\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[D = a^2 - 2a + 1 - 4a^2 - 12a\]
\[D = -3a^2 - 14a + 1\]

Теперь, найдем корни уравнения. Используем формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения коэффициентов уравнения:

\[x = \frac{-(a-1) \pm \sqrt{-3a^2 - 14a + 1}}{2 \cdot 1}\]

Упростим выражение в числителе:

\[x = \frac{-a+1 \pm \sqrt{-3a^2 - 14a + 1}}{2}\]

Теперь рассмотрим случаи различных значений дискриминанта \(D\).

1. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных вещественных корня.

При этом, добуток корней вычисляется как произведение корней:

\[P = x_1 \cdot x_2\]

2. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один вещественный корень кратности 2.

В этом случае, добуток корней также вычисляется как произведение корня:

\[P = x^2\]

3. Если \(D < 0\), то уравнение имеет два комплексных корня.

Комплексные корни не имеют смысла в контексте задачи о добутке корней, поэтому в этом случае добуток корней отсутствует.

Теперь давайте рассмотрим каждый из этих случаев более подробно:

1. Если \(D > 0\):

Вычислим корни уравнения, подставив выражение для параметра \(a\):

\[x_1 = \frac{-a+1 + \sqrt{-3a^2 - 14a + 1}}{2}\]
\[x_2 = \frac{-a+1 - \sqrt{-3a^2 - 14a + 1}}{2}\]

Теперь найдем добуток корней:

\[P = x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-a+1 + \sqrt{-3a^2 - 14a + 1}}{2}\right) \cdot \left(\frac{-a+1 - \sqrt{-3a^2 - 14a + 1}}{2}\right)\]

2. Если \(D = 0\):

В этом случае, уравнение имеет один корень кратности 2:

\[x = \frac{-a+1}{2}\]

Найдем добуток этого корня:

\[P = x^2 = \left(\frac{-a+1}{2}\right)^2\]

3. Если \(D < 0\):

В данном случае, уравнение имеет два комплексных корня, и добуток корней отсутствует.

Таким образом, чтобы найти значения параметра \(a\), при которых добуток корней уравнения равен определенному значению, необходимо рассмотреть только случаи, когда \(D > 0\) или \(D = 0\).