Яким буде косинус кута в трикутнику авс, якщо координати точок а (-3; 2), в(5; 3), с(-4; -1)?

Solnce_Nad_Okeanom

51

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулу для нахождения косинуса угла в прямоугольном треугольнике. Для этого мы должны знать длины двух катетов или длину одного катета и гипотенузу треугольника.

В данной задаче даны координаты трех точек треугольника: \(А(-3; 2)\), \(В(5; 3)\) и \(С(-4; -1)\). Чтобы найти длины катетов или гипотенузу, мы можем воспользоваться формулой для нахождения расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат.

Итак, для начала найдем длины сторон треугольника \(АВ\), \(ВС\) и \(СА\) по формуле расстояния между двумя точками:

Для стороны \(АВ\):
\[
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
\[
AB = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (3 - 2)^2}
\]
\[
AB = \sqrt{8^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}
\]

Для стороны \(ВС\):
\[
BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
\[
BC = \sqrt{((-4) - 5)^2 + ((-1) - 3)^2}
\]
\[
BC = \sqrt{(-9)^2 + (-4)^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97}
\]

Для стороны \(СА\):
\[
CA = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
\[
CA = \sqrt{((-4) - (-3))^2 + ((-1) - 2)^2}
\]
\[
CA = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]

Теперь, когда у нас есть длины всех сторон треугольника, мы можем использовать формулу для нахождения косинуса угла в треугольнике:

\[
\cos(\angle ABC) = \frac{{AB^2 + BC^2 - CA^2}}{{2 \cdot AB \cdot BC}}
\]

Подставим значения:
\[
\cos(\angle ABC) = \frac{{(\sqrt{65})^2 + (\sqrt{97})^2 - (\sqrt{10})^2}}{{2 \cdot \sqrt{65} \cdot \sqrt{97}}}
\]
\[
\cos(\angle ABC) = \frac{{65 + 97 - 10}}{{2 \cdot \sqrt{65} \cdot \sqrt{97}}}
\]
\[
\cos(\angle ABC) = \frac{{152}}{{2 \cdot \sqrt{65} \cdot \sqrt{97}}}
\]
\[
\cos(\angle ABC) = \frac{{76}}{{\sqrt{65} \cdot \sqrt{97}}}
\]
\[
\cos(\angle ABC) = \frac{{76}}{{\sqrt{65 \cdot 97}}}
\]
\[
\cos(\angle ABC) \approx 0.796
\]

Таким образом, косинус угла в треугольнике АВС, с вершиной А, составляет примерно 0.796.