Яким буде косинус кута в трикутнику авс, якщо координати точок а (-3; 2), в(5; 3), с(-4; -1)?

Solnce_Nad_Okeanom

51

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулу для нахождения косинуса угла в прямоугольном треугольнике. Для этого мы должны знать длины двух катетов или длину одного катета и гипотенузу треугольника.

В данной задаче даны координаты трех точек треугольника: $А(-3;2)$, $В(5;3)$ и $С(-4;-1)$. Чтобы найти длины катетов или гипотенузу, мы можем воспользоваться формулой для нахождения расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат.

Итак, для начала найдем длины сторон треугольника $АВ$, $ВС$ и $СА$ по формуле расстояния между двумя точками:

Для стороны $АВ$:
$$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$
$$AB=\sqrt{(5-(-3){)}^2+(3-2{)}^2}$$
$$AB=\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{64+1}=\sqrt{65}$$

Для стороны $ВС$:
$$BC=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$
$$BC=\sqrt{((-4)-5{)}^2+((-1)-3{)}^2}$$
$$BC=\sqrt{(-9{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{81+16}=\sqrt{97}$$

Для стороны $СА$:
$$CA=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$
$$CA=\sqrt{((-4)-(-3){)}^2+((-1)-2{)}^2}$$
$$CA=\sqrt{(-1{)}^2+(-3{)}^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$$

Теперь, когда у нас есть длины всех сторон треугольника, мы можем использовать формулу для нахождения косинуса угла в треугольнике:

$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{A{B}^2+B{C}^2-C{A}^2}{2\cdot AB\cdot BC}$$

Подставим значения:
$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{(\sqrt{65}{)}^2+(\sqrt{97}{)}^2-(\sqrt{10}{)}^2}{2\cdot \sqrt{65}\cdot \sqrt{97}}$$
$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{65+97-10}{2\cdot \sqrt{65}\cdot \sqrt{97}}$$
$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{152}{2\cdot \sqrt{65}\cdot \sqrt{97}}$$
$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{76}{\sqrt{65}\cdot \sqrt{97}}$$
$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{76}{\sqrt{65\cdot 97}}$$
$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)\approx 0.796$$

Таким образом, косинус угла в треугольнике АВС, с вершиной А, составляет примерно 0.796.