Яким буде обсяг правильної чотирикутної піраміди з діагоналлю квадрата, розташованого в її основі, рівною довжині

Plyushka

63

Перш за все, давайте означимо некілька величин для зрозуміння задачі:

\(a\) - довжина бокового ребра чотирикутної піраміди
\(d\) - діагональ квадрата, розташованого в основі піраміди

Ми хочемо знайти об"єм піраміди з відомими значеннями \(a\) і \(d\). Для цього скористаємося формулою об"єму піраміди:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основи}} \times h\]

де \(S_{\text{основи}}\) - площа основи піраміди, \(h\) - висота піраміди від вершини до основи.

Для знаходження площі основи, нам потрібно визначити бічну довжину чотирикутника в основі піраміди. У нашому випадку, це діагональ квадрата \(d\).

Тепер розглянемо площу однієї сторони чотирикутника в основі. Цей чотирикутник є ромбом, у якого діагоналі перпендикулярні одна до одної. Площа ромба може бути обчислена за формулою:

\[S_{\text{ромба}} = \frac{d_1 \times d_2}{2}\]

де \(d_1\) і \(d_2\) - довжини діагоналей ромба.

За умовою задачі, ми знаємо, що одна з діагоналей ромба має довжину \(a\), а інша діагональ - \(d\). Тому можемо замінити \(d_1\) і \(d_2\) у формулі на \(a\) і \(d\):

\[S_{\text{ромба}} = \frac{a \times d}{2}\]

Так як у піраміди є чотири однакові сторони, площа основи складається з чотирьох таких ромбів:

\[S_{\text{основи}} = 4 \times S_{\text{ромба}} = 4 \times \frac{a \times d}{2} = 2 \times a \times d\]

Залишилося знайти висоту піраміди \(h\). Для цього скористаємося теоремою Піфагора для трикутника, утвореного однією з пірамідальних граней, висотою піраміди і половиною діагоналі основи:

\[h^2 = a^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2\]

Тепер можемо підставити знайдені значення \(S_{\text{основи}}\) і \(h\) у формулу об"єму піраміди:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основи}} \times h = \frac{1}{3} \times 2 \times a \times d \times \sqrt{a^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2}\]

Отже, обсяг правильної чотирикутної піраміди з діагоналлю квадрата, розташованого в її основі, рівною довжині її бокового ребра, становить \(\frac{2}{3} \times a \times d \times \sqrt{a^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2}\).