Яким буде периметр прямокутника з діагоналлю d, що утворює кут β з більшою стороною?

Lina_1476

64

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о геометрических свойствах прямоугольников и триугольников.

Периметр прямоугольника - это сумма длин его сторон. В прямоугольнике две пары противоположных сторон равны между собой.

Дано, что диагональ \(d\) прямоугольника образует угол \( \beta \) с большей стороной.

Обозначим большую сторону прямоугольника через \( a \) и меньшую сторону через \( b \).

Для решения задачи нам потребуется использовать связь длин сторон с диагональю прямоугольника.

Можем использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного сторонами прямоугольника и его диагональю:

\[ d^2 = a^2 + b^2 \]

Также нам известно, что угол между \( d \) и \( a \) равен \( \beta \).

Мы можем применить тригонометрические отношения, чтобы выразить сторону \( b \) через диагональ \( d \) и угол \( \beta \).

Используем тригонометрическую функцию синуса:

\[ \sin \beta = \frac{b}{d} \]

Отсюда легко выразить \( b \):

\[ b = d \cdot \sin \beta \]

Теперь подставим это значение в уравнение Пифагора:

\[ d^2 = a^2 + (d \cdot \sin \beta)^2 \]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[ d^2 = a^2 + d^2 \cdot \sin^2 \beta \]

Выразим большую сторону \( a \):

\[ a^2 = d^2 - d^2 \cdot \sin^2 \beta \]

\[ a = \sqrt{d^2 - d^2 \cdot \sin^2 \beta} \]

Таким образом, мы получили формулу для вычисления большей стороны прямоугольника через длину его диагонали \( d \) и угол \( \beta \).

Чтобы найти периметр, сложим все стороны прямоугольника:

\[ P = 2 \cdot a + 2 \cdot b \]

\[ P = 2 \cdot \sqrt{d^2 - d^2 \cdot \sin^2 \beta} + 2 \cdot d \cdot \sin \beta \]

Таким образом, периметр прямоугольника с диагональю \( d \), образующей угол \( \beta \) с большей стороной, можно выразить через эти параметры с помощью данной формулы.