Яким буде перший елемент найменшої геометричної прогресії, якщо {різниця між сьомим і п ятим членами становить

Изумруд

52

Давайте решим эту задачу пошагово. Пусть первый элемент геометрической прогрессии будет равен \( a \), а знаменатель прогрессии - \( q \).

Первое условие гласит: "разница между седьмым и пятым членами составляет 48". Это означает, что у нас есть уравнение:

\[ aq^6 - aq^4 = 48 \]

Второе условие гласит: "сумма шестого и пятого членов составляет 48". Это означает, что у нас есть уравнение:

\[ aq^5 + aq^4 = 48 \]

И третье условие гласит: "сумма всех членов прогрессии составляет 1073". Также у нас есть известная формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[ \text{Сумма} = \frac{a}{1 - q} \]

В данном случае сумма равна 1073, поэтому мы можем записать уравнение:

\[ \frac{a}{1 - q} = 1073 \]

Теперь у нас есть система из трех уравнений, которую мы можем решить для нахождения \( a \) и \( q \).

Давайте начнем с второго уравнения и выразим \( a \) через \( q \):

\[ a = \frac{48 - aq^4}{q^5} \]

Подставим это выражение для \( a \) в первое и третье уравнения:

\[ \frac{48 - aq^4}{q^5} \cdot q^6 - \frac{48 - aq^4}{q^5} \cdot q^4 = 48 \]

\[ \frac{48 - aq^4}{q^5} = \frac{1073}{1 - q} \]

Упростим эти уравнения. В первом уравнении раскроем скобки и сократим некоторые слагаемые:

\[ 48q^6 - 48q^4 = 48q^5 - aq^9 \]

\[ 48q^6 - 48q^4 - 48q^5 + aq^9 = 0 \]

Во втором уравнении учтем, что знаменатель и числитель обоих дробей можно умножить на \( q^5 \):

\[ 48 - aq^4 = \frac{1073q^5}{1 - q} \]

\[ 48 - aq^4 = \frac{1073q^5}{1 - q} \cdot q^5 \]

\[ 48 - aq^4 = \frac{1073q^{10}}{1 - q} \]

Мы получили систему из двух уравнений:

\[ 48q^6 - 48q^4 - 48q^5 + aq^9 = 0 \]

\[ 48 - aq^4 = \frac{1073q^{10}}{1 - q} \]

Теперь мы можем решить эту систему численно с помощью математического программного обеспечения или калькулятора. Но в данном случае, это может быть сложно или трудоемко. К счастью, есть другой способ, с помощью которого мы можем получить ответ.

Давайте воспользуемся системой уравнений, чтобы избавиться от переменной \( a \). Выразим \( a \) из второго уравнения:

\[ a = 48 - \frac{1073q^{10}}{1 - q} \cdot \frac{1}{q^4} \]

Подставим это выражение для \( a \) в первое уравнение:

\[ 48q^6 - 48q^4 - 48q^5 + q^9 \left( 48 - \frac{1073q^{10}}{1 - q} \cdot \frac{1}{q^4} \right) = 0 \]

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной \( q \). Мы можем решить его численно с помощью математического программного обеспечения или калькулятора. Получив значение \( q \), мы можем найти \( a \) по формуле:

\[ a = 48 - \frac{1073q^{10}}{1 - q} \cdot \frac{1}{q^4} \]

Таким образом, я не могу дать окончательный ответ вам сейчас, но я предоставил вам пошаговое решение для нахождения первого элемента наименьшей геометрической прогрессии, удовлетворяющей заданным условиям. Надеюсь, это поможет вам решить задачу.