Яким буде розподіл ймовірностей кількості влучень в ціль при 5 незалежних пострілах, якщо імовірність влучення в ціль

Людмила

8

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о биномиальном распределении вероятностей. Биномиальное распределение применяется в случаях, когда проводится несколько независимых испытаний с двумя исходами (например, успехом и неудачей) и интересующая нас вероятность относится к количеству исходов успеха.

В нашем случае мы имеем 5 независимых выстрелов, и вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна p.

Распределение вероятностей количества попаданий в мишень при заданном числе выстрелов называется биномиальное распределение. Формула для вычисления вероятности количества успехов k в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p имеет вид:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где X - количество попаданий в мишень, k - заданное количество попаданий, n - общее количество выстрелов, p - вероятность попадания в мишень при одном выстреле, \( C_n^k \) - число сочетаний из n по k (также известное как биномиальный коэффициент).

Для данной задачи нам нужно найти распределение вероятностей количества попаданий в мишень при 5 выстрелах, где вероятность попадания при одном выстреле равна p.

Давайте подставим значения и рассчитаем вероятность для разных значений количества попаданий k от 0 до 5.

Для начала, определим биномиальный коэффициент \( C_5^k \):

\[ C_5^k = \frac{{5!}}{{k! \cdot (5-k)!}} \]

Теперь мы можем рассчитать вероятности для каждого значения k:

\[ P(X=0) = C_5^0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^5 \]
\[ P(X=1) = C_5^1 \cdot p^1 \cdot (1-p)^4 \]
\[ P(X=2) = C_5^2 \cdot p^2 \cdot (1-p)^3 \]
\[ P(X=3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot (1-p)^2 \]
\[ P(X=4) = C_5^4 \cdot p^4 \cdot (1-p)^1 \]
\[ P(X=5) = C_5^5 \cdot p^5 \cdot (1-p)^0 \]

Теперь мы можем подставить значения в формулу и вычислить вероятности для каждого значения k.