Яким є центральний кут та кількість сторін правильного н-кутника зі стороною 6 см при даних, що радіус вписаного кола

Скат

32

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать некоторые свойства правильных многоугольников и вписанных окружностей.

1. Первое свойство, которое нам понадобится - это то, что в центральном угле правильного многоугольника каждая сторона равна радиусу вписанной окружности. То есть, если сторона правильного многоугольника равная 6 см, то радиус вписанной окружности также будет равен 6 см.

2. Второе свойство, связанное с центральным углом, состоит в том, что сумма центральных углов правильного многоугольника равна 360 градусам. Таким образом, если нам известен центральный угол, мы можем узнать количество сторон многоугольника.

3. Третье свойство - радиус вписанной окружности правильного многоугольника можно найти по формуле: $r=\frac{s}{2\cdot \tan (\frac{\pi }{n})}$, где $r$ - радиус вписанной окружности, $s$ - сторона многоугольника, $n$ - количество сторон многоугольника.

Итак, давайте применим эти свойства к нашей задаче.

У нас дан радиус вписанного круга $r=3\sqrt{3}$. По третьему свойству, радиус вписанного круга можно найти по формуле $r=\frac{s}{2\cdot \tan (\frac{\pi }{n})}$, где $s=6$ - сторона правильного многоугольника. Подставляя известные значения, получаем:

$$3\sqrt{3}=\frac{6}{2\cdot \tan (\frac{\pi }{n})}$$

Теперь, домножив обе части уравнения на $\frac{2\cdot \tan (\frac{\pi }{n})}{6}$, мы избавляемся от деления и получаем:

$$2\cdot \tan (\frac{\pi }{n})=\frac{6}{3\sqrt{3}}$$
$$\tan (\frac{\pi }{n})=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Нам известно, что $\tan (\frac{\pi }{6})=\frac{1}{\sqrt{3}}$, поэтому можем записать уравнение:

$$\tan (\frac{\pi }{n})=\tan (\frac{\pi }{6})$$

Теперь нам необходимо найти все возможные значения $n$, удовлетворяющие этому уравнению. Для этого рассмотрим различные значения $\frac{\pi }{n}$ и найдем соответствующие значения $n$.

$\frac{\pi }{2}$ не удовлетворяет уравнению, так как $\tan (\frac{\pi }{2})$ не определен.

$\frac{\pi }{3}$ удовлетворяет уравнению, так как $\tan (\frac{\pi }{3})=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Это означает, что у нас есть правильный треугольник.

$\frac{\pi }{4}$ не удовлетворяет уравнению, так как $\tan (\frac{\pi }{4})\ne \frac{1}{\sqrt{3}}$.

$\frac{\pi }{5}$ не удовлетворяет уравнению, так как $\tan (\frac{\pi }{5})\ne \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, мы получили один возможный вариант: правильный треугольник (3-угольник).

Ответ: Центральный угол правильного многоугольника с стороной 6 см, при котором радиус вписанного круга равен $3\sqrt{3}$, составляет $\frac{\pi }{3}$ радиан или 60 градусов. Количество сторон такого многоугольника равно 3, поэтому это правильный треугольник.