Яким є прискорення вільного падіння на юпітері, з урахуванням середньої густини планети 1300 кг/м3 та радіуса 71000

Magnitnyy_Marsianin

26

Для решения этой задачи, необходимо воспользоваться законом всемирного тяготения, который устанавливает связь между массой планеты, ее радиусом и силой тяжести на поверхности. Формула для расчета силы тяжести:

\[F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}\]

Где:
- \(F\) - сила тяжести
- \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\))
- \(M\) - масса планеты
- \(m\) - масса тела
- \(r\) - расстояние от центра планеты до тела

Планета Юпитер является газовым гигантом, и для простоты расчета предположим, что она имеет форму идеальной сферы. Учитывая это, будем считать, что точка измерения находится на поверхности планеты, радиус которой составляет 71000 км (или 71000 000 м).

Теперь подставим известные данные в формулу:

\[F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}\]

Так как мы хотим найти ускорение свободного падения, то массу тела (\(m\)) необходимо заменить на его массу (\(m = \frac{{m_{\text{экв}}}}{{g}}\)), где \(m_{\text{экв}}\) - эквивалентная масса тела, а \(g\) - ускорение свободного падения на Земле (\(9.8\, \text{м/c}^2\)).

Теперь формула приобретает вид:

\[F = \frac{{G \cdot M \cdot \left(\frac{{m_{\text{экв}}}}{{g}}\right)}}{{r^2}}\]

Однако, нам необходимо найти ускорение (\(a\)), а не силу тяжести. По второму закону Ньютона ускорение тела связано с силой тяжести следующим соотношением:

\[F = m_{\text{экв}} \cdot a\]

Подставляем это в формулу и получаем:

\[m_{\text{экв}} \cdot a = \frac{{G \cdot M \cdot \left(\frac{{m_{\text{экв}}}}{{g}}\right)}}{{r^2}}\]

Теперь можем выразить ускорение (\(a\)):

\[a = \frac{{G \cdot M}}{{g \cdot r^2}}\]

Подставляем известные значения:

\[
a = \frac{{6.67 \times 10^{-11} \cdot M \cdot (1300)}}{{(71000 \times 10^3)^2}}
\]

Теперь можем произвести необходимые расчеты:

\[
a = \frac{{8.7041 \times 10^{-5} \cdot M}}{{71000^2}}
\]

Вычисляя это выражение, получаем значение ускорения в свободном падении на Юпитере.
Обратите внимание, что данная формула предполагает, что планета Юпитер имеет однородное распределение массы по радиусу. В реальности, масса планеты может быть распределена неоднородно, и это упрощение может оказывать влияние на точность результата.