Який об єм паралелепіпеда з основою у вигляді прямокутника і бічною гранню у вигляді ромба? Основа має сторони довжиною

Bulka

19

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для вычисления объема параллелепипеда. Объем параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты. В данной задаче, длина параллелепипеда равна одной стороне основы прямоугольника, ширина - другой стороне основы прямоугольника, а высота - длине боковой грани ромба.

Для начала определим высоту ромба. Заметим, что данный ромб имеет два равных угла, причем один из углов меньше другого на 120 градусов. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то один из углов ромба равен \(\frac{{180° - 120°}}{2} = 30°\).

Теперь воспользуемся свойствами ромба: у каждого ромба диагонали перпендикулярны между собой и делят друг друга пополам. Обозначим через \(d_1\) большую диагональ, а через \(d_2\) - меньшую диагональ ромба.

Так как сторона прямоугольника равна 5 см, то \(d_1\) равна длине диагонали основы ромба и может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:
\[d_1 = \sqrt{4^2 + 5^2}\]

Так как один из углов ромба равен 30 градусов, то дополнительный угол ромба равен 180 градусов - 30 градусов = 150 градусов.

Теперь рассмотрим небольшой треугольник в ромбе. В нем большая диагональ \(d_1\) является гипотенузой, отрезок \(a\) - катетом, а отрезок \(h\) - высотой, опущенной на \(a\).

С помощью тригонометрии можно выразить длину \(\frac{a}{2}\) через высоту:
\(\sin 30° = \frac{\frac{a}{2}}{d_1}\)

Решая это уравнение, получим:
\(\frac{1}{2} = \frac{{\frac{a}{2}}}{d_1}\)
\(a = \frac{1}{2} \cdot d_1\)

Таким образом, мы нашли длину отрезка \(a\), который является половиной длины меньшей диагонали \(d_2\). То есть:
\(d_2 = 2 \cdot a = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot d_1 = d_1\)

Итак, мы получили, что меньшая диагональ ромба \(d_2\) также равна длине диагонали основы ромба \(d_1\). Следовательно, высота ромба равна длине \(d_2\).

Теперь мы готовы вычислить объем параллелепипеда. Подставим значения в формулу:
\[V = 4 \cdot 5 \cdot d_2 = 20 \cdot d_2\]

Заменим \(d_2\) на \(d_1\) для получения окончательного ответа:
\[V = 20 \cdot d_1\]

Теперь найдем значение для \(d_1\):
\[d_1 = \sqrt{4^2 + 5^2}\]
\[d_1 = \sqrt{16 + 25}\]
\[d_1 = \sqrt{41}\]

Таким образом, окончательный ответ составляет:
\[V = 20 \cdot \sqrt{41}\]