Яким є розмір площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди, у якої кут при вершині становить 30°, а довжина

Шнур

64

Для розв"язання цієї задачі спочатку обчислимо площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди.

Площа бічної поверхні трикутної піраміди може бути обчислена за формулою:

\[S = \frac{1}{2} \times \text{периметр основи} \times \text{апофема}.\]

У нашому випадку, ми маємо правильну трикутну піраміду, тому периметр основи буде дорівнювати трьом довжинам її сторін, а апофема - відстань від середини основи до вершини піраміди. Апофема може бути обчислена за формулою:

\[\text{апофема} = \text{бічне ребро} \times \tan(30°).\]

Підставляючи відомі значення до формул, ми отримаємо:

\[\text{бічне ребро} = 10 \, \text{см},\]
\[\text{периметр основи} = 3 \times \text{бічне ребро} = 3 \times 10 \, \text{см} = 30 \, \text{см},\]
\[\text{апофема} = 10 \, \text{см} \times \tan(30°).\]

Тепер можемо обчислити апофему:

\[\text{апофема} = 10 \, \text{см} \times \tan(30°) \approx 5.77 \, \text{см}.\]

Тепер можемо обчислити площу бічної поверхні піраміди:

\[S = \frac{1}{2} \times \text{периметр основи} \times \text{апофема} = \frac{1}{2} \times 30 \, \text{см} \times 5.77 \, \text{см} = 86.55 \, \text{см}^2.\]

Таким чином, площа бічної поверхні правильної трикутної піраміди становить 86.55 квадратних сантиметрів.

Тепер перейдемо до другої частини запитання, де вам треба обчислити повну поверхню правильної чотирикутної піраміди з висотою, яка утворює кут β з бічною гранню, і довжиною відрізка між основою висоти і серединою апофеми b.

Площа повної поверхні правильної чотирикутної піраміди може бути обчислена за формулою:

\[S = \text{площа основи} + \text{площа бокової поверхні}.\]

Площа основи чотирикутної піраміди може бути обчислена за формулою:

\[\text{площа основи} = \text{довжина основи} \times \text{ширина основи}.\]

У нашому випадку, основа піраміди є прямокутником, тому площа основи буде дорівнювати довжині основи помноженій на ширину основи.

Тепер нам залишається знайти площу бокової поверхні чотирикутної піраміди. Площа бокової поверхні чотирикутної піраміди може бути обчислена за формулою:

\[S = \frac{1}{2} \times \text{периметр бокової грані} \times \text{висота}.\]

У нашому випадку, периметр бокової грані може бути обчислений за формулою:

\[\text{периметр бокової грані} = 4 \times \text{довжина бокового ребра}.\]

Тепер можемо обчислити периметр бокової грані:

\[\text{периметр бокової грані} = 4 \times b = 4 \times \text{довжина відрізка між основою висоти і серединою апофеми}.\]

Підставляючи відомі значення до формул, ми отримаємо:

\[\text{довжина основи} = 10 \, \text{см},\]
\[\text{ширина основи} = \text{апофема} \times \tan(\beta),\]
\[\text{площа основи} = \text{довжина основи} \times \text{ширина основи},\]
\[\text{довжина бокового ребра} = b,\]
\[\text{периметр бокової грані} = 4 \times b,\]
\[\text{висота} = \text{довжина відрізка між основою висоти і серединою апофеми},\]
\[\text{площа бокової поверхні} = \frac{1}{2} \times \text{периметр бокової грані} \times \text{висота}.\]

Тепер ми можемо обчислити ширину основи:

\[\text{ширина основи} = \text{апофема} \times \tan(\beta) = 5.77 \, \text{см} \times \tan(\beta).\]

Тепер ми можемо обчислити площу основи:

\[\text{площа основи} = \text{довжина основи} \times \text{ширина основи} = 10 \, \text{см} \times \text{ширина основи}.\]

Останнім кроком є обчислення площі бокової поверхні:

\[\text{площа бокової поверхні} = \frac{1}{2} \times \text{периметр бокової грані} \times \text{висота} = \frac{1}{2} \times (4 \times b) \times \text{висота}.\]

Інформація про значення \(b\) і \(β\) відсутня у поставленій задачі, тому я не можу надати конкретний числовий відповідь. Однак, ви можете використати ці формули і підставити значення \(b\) та \(β\), якими ви володієте, щоб обчислити повну поверхню правильної чотирикутної піраміди.