Яким є скалярний добуток векторів ab в ромбі abcd, де ab = 2 см і кут abc = 120 градусів?

Сладкая_Сирень

36

Для решения данной задачи нам понадобится знание скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними.

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \]

В данной задаче у нас имеется ромб ABCD, где сторона AB равна 2 см, а угол ABC составляет 120 градусов.

Чтобы найти скалярное произведение векторов AB, нам нужно знать значения модулей векторов AB и BC, а также косинус угла ABC.

Сначала найдем модуль вектора AB:

\[ |\mathbf{AB}| = AB = 2 \, \text{см} \]

Затем найдем модуль вектора BC. Чтобы найти его, нам нужно знать длину стороны BC в ромбе ABCD.

Для нахождения длины стороны BC, воспользуемся теоремой косинусов. В треугольнике ABC с известными значениями сторон AB и AC (AC - это диагональ ромба), и углом ABC, мы можем найти длину стороны BC:

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle ABC) \]

Подставляем известные значения:

\[ BC^2 = 2^2 + AC^2 - 2 \cdot 2 \cdot AC \cdot \cos(120^\circ) \]

Так как угол ABC в ромбе равен 120 градусам, то значение косинуса этого угла равно -0,5 (косинус 120 градусов равен -0,5).

\[ BC^2 = 4 + AC^2 - 2 \cdot 2 \cdot AC \cdot (-0,5) \]
\[ BC^2 = 4 + AC^2 + 2 \cdot AC \]
\[ BC^2 = AC^2 + 2 \cdot AC + 4 \]

Мы знаем, что в ромбе AC равна длине диагонали. Поэтому AC = 2 \cdot AB = 2 \cdot 2 \, \text{см} = 4 \, \text{см}.

Подставляем это значение в уравнение:

\[ BC^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 + 4 \]
\[ BC^2 = 16 + 8 + 4 \]
\[ BC^2 = 28 \]

Для нахождения длины стороны BC, извлекаем квадратный корень:

\[ BC = \sqrt{28} \approx 5,29 \, \text{см} \]

Теперь, когда у нас есть значения модулей векторов AB и BC, мы можем найти скалярное произведение векторов AB:

\[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC} = |\mathbf{AB}| |\mathbf{BC}| \cos(\theta) \]

Подставляем известные значения:

\[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC} = 2 \cdot 5,29 \cdot \cos(120^\circ) \]

Вычисляем скалярное произведение:

\[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC} \approx 2 \cdot 5,29 \cdot (-0,5) \approx -5,29 \, \text{см}^2 \]

Итак, скалярное произведение векторов AB в ромбе ABCD при заданных условиях равно примерно -5,29 квадратных сантиметров.