Какова длина окружности, ограничивающей круговой сектор с углом в 45 градусов, если его площадь равна 8п квадратных

  • 49
Какова длина окружности, ограничивающей круговой сектор с углом в 45 градусов, если его площадь равна 8п квадратных сантиметров?
Морской_Цветок
33
Для решения этой задачи нам понадобятся формулы, связывающие площадь круга с его радиусом и длиной окружности.

Площадь круга вычисляется по формуле:

\[S = \pi r^2,\]

где \(S\) - площадь круга, \(\pi\) - математическая константа, примерное значение которой составляет 3.14159, а \(r\) - радиус круга.

Длина окружности определяется следующей формулой:

\[C = 2\pi r,\]

где \(C\) - длина окружности.

Нам известна площадь кругового сектора (\(S\)) и угол (\(\alpha\)), составляющий его.

Для начала, найдем радиус кругового сектора. Поделим площадь кругового сектора на площадь всего круга и получим отношение:

\[\frac{S_{\text{сектора}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{\alpha}{360^\circ}.\]

Подставим известные значения:

\[\frac{8\pi}{\pi r^2} = \frac{45}{360}.\]

Упростим выражение:

\[\frac{8}{r^2} = \frac{45}{360}.\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{360}{45}\), чтобы избавиться от дроби:

\[\frac{8}{r^2} \cdot \frac{360}{45} = 1.\]

Упростим выражение:

\[\frac{64}{r^2} = 1.\]

Теперь найдем радиус круга. Возведем обе части уравнения в степень \(2\) и решим получившееся уравнение:

\[\left(\frac{64}{r^2}\right)^2 = 1^2.\]

\[\frac{64}{r^2} \cdot \frac{64}{r^2} = 1.\]

\[\frac{4096}{r^4} = 1.\]

Перенесем единицу налево:

\[4096 = r^4.\]

Возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{4}\), чтобы найти радиус:

\[\sqrt[4]{4096} = r.\]

\[\sqrt[4]{2^12} = r.\]

\[2^3 = r.\]

\[r = 2.\]

Теперь, когда мы нашли радиус круга (\(r = 2\)), мы можем найти длину окружности по формуле:

\[C = 2\pi r.\]

Заменим значение радиуса:

\[C = 2\pi \cdot 2.\]

Выполним вычисления:

\[C = 4\pi.\]

Таким образом, длина окружности, ограничивающей круговой сектор с углом в \(45^\circ\) и площадью \(8\pi\) квадратных сантиметров, равна \(4\pi\) сантиметра.