Какова длина окружности, ограничивающей круговой сектор с углом в 45 градусов, если его площадь равна 8п квадратных
Какова длина окружности, ограничивающей круговой сектор с углом в 45 градусов, если его площадь равна 8п квадратных сантиметров?
Морской_Цветок 33
Для решения этой задачи нам понадобятся формулы, связывающие площадь круга с его радиусом и длиной окружности.Площадь круга вычисляется по формуле:
\[S = \pi r^2,\]
где \(S\) - площадь круга, \(\pi\) - математическая константа, примерное значение которой составляет 3.14159, а \(r\) - радиус круга.
Длина окружности определяется следующей формулой:
\[C = 2\pi r,\]
где \(C\) - длина окружности.
Нам известна площадь кругового сектора (\(S\)) и угол (\(\alpha\)), составляющий его.
Для начала, найдем радиус кругового сектора. Поделим площадь кругового сектора на площадь всего круга и получим отношение:
\[\frac{S_{\text{сектора}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{\alpha}{360^\circ}.\]
Подставим известные значения:
\[\frac{8\pi}{\pi r^2} = \frac{45}{360}.\]
Упростим выражение:
\[\frac{8}{r^2} = \frac{45}{360}.\]
Умножим обе части уравнения на \(\frac{360}{45}\), чтобы избавиться от дроби:
\[\frac{8}{r^2} \cdot \frac{360}{45} = 1.\]
Упростим выражение:
\[\frac{64}{r^2} = 1.\]
Теперь найдем радиус круга. Возведем обе части уравнения в степень \(2\) и решим получившееся уравнение:
\[\left(\frac{64}{r^2}\right)^2 = 1^2.\]
\[\frac{64}{r^2} \cdot \frac{64}{r^2} = 1.\]
\[\frac{4096}{r^4} = 1.\]
Перенесем единицу налево:
\[4096 = r^4.\]
Возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{4}\), чтобы найти радиус:
\[\sqrt[4]{4096} = r.\]
\[\sqrt[4]{2^12} = r.\]
\[2^3 = r.\]
\[r = 2.\]
Теперь, когда мы нашли радиус круга (\(r = 2\)), мы можем найти длину окружности по формуле:
\[C = 2\pi r.\]
Заменим значение радиуса:
\[C = 2\pi \cdot 2.\]
Выполним вычисления:
\[C = 4\pi.\]
Таким образом, длина окружности, ограничивающей круговой сектор с углом в \(45^\circ\) и площадью \(8\pi\) квадратных сантиметров, равна \(4\pi\) сантиметра.