Який косинус кута, під яким з початку координат видно відрізок, що з єднує точки А(2;-3;6) і В(3;0;4)?

Григорьевич

28

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами. Вектор, определяющий данный отрезок, будет равен разности координат точек A и B.

Давайте найдем этот вектор:

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\]

\[\overrightarrow{AB} = (3 - 2, 0 - (-3), 4 - 6)\]

\[\overrightarrow{AB} = (1, 3, -2)\]

Теперь, когда у нас есть вектор \(\overrightarrow{AB}\), мы можем использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OA}}{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{OA}\|} \]

где \(\overrightarrow{OA}\) - это вектор, соединяющий начало координат с точкой A.

Давайте найдем вектор \(\overrightarrow{OA}\):

\[\overrightarrow{OA} = (2, -3, 6)\]

Теперь мы можем вычислить значения скалярного произведения и длин векторов:

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OA} = (1, 3, -2) \cdot (2, -3, 6) = 1 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) + (-2) \cdot 6\]

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OA} = 2 - 9 - 12 = -19\]

\[\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}\]

\[\|\overrightarrow{OA}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\]

Теперь мы можем использовать найденные значения в формуле для косинуса угла:

\[\cos(\theta) = \frac{-19}{\sqrt{14} \cdot 7} = \frac{-19}{7\sqrt{14}}\]

Таким образом, косинус угла, под которым из начала координат виден отрезок AB, равен \(\frac{-19}{7\sqrt{14}}\) или около -0.373.

Надеюсь, что это решение понятно и полезно школьнику. Если возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте знать!