Який є кут нахилу твірної конуса до площини його основи, якщо площа повної поверхні конуса дорівнює 108п см^2, а висота

Веселый_Зверь

51

Щоб вирішити цю задачу, спочатку розглянемо загальний вигляд повної поверхні конуса. Повна поверхня конуса складається з основи та бічної поверхні. Обозначимо радіус основи конуса як \(r\), а обертову генератрису (тобто довжину) конусу як \(l\).

А зараз розглянемо формулу для обчислення повної поверхні конуса:

\[S = \pi r^2 + \pi r l\]

Задано, що площа повної поверхні конуса дорівнює \(108\pi\) квадратних сантиметрів. Підставимо це значення до формули:

\[108\pi = \pi r^2 + \pi r l\]

Відразу помітимо, що \(\pi\) знаходиться у кожному доданку, тому можемо скоротити його:

\[108 = r^2 + r l\]

Ми також знаємо, що висота конуса дорівнює \(6\sqrt{3}\) сантиметрів. Використаємо тепер теорему Піфагора для знаходження обертової генератриси конуса:

\[l^2 = r^2 + h^2\]

Підставивши значення, отримаємо:

\[l^2 = r^2 + (6\sqrt{3})^2\]
\[l^2 = r^2 + 36 \cdot 3\]
\[l^2 = r^2 + 108\]

Тепер ми маємо дві рівності:

\[108 = r^2 + r l\]
\[l^2 = r^2 + 108\]

Розв"яжемо цю систему рівнянь. Спочатку виразимо \(r\) з першого рівняння:

\[r^2 + rl = 108\]
\[r(r + l) = 108\]
\[r = \frac{108}{r + l}\]

Підставимо це значення у друге рівняння:

\[l^2 = \left(\frac{108}{r + l}\right)^2 + 108\]

Розкриємо квадрат у правій частині:

\[l^2 = \frac{108^2}{(r + l)^2} + 108\]

Тепер помножимо обидві частини на \((r + l)^2\), щоб усунути дріб:

\[l^2(r + l)^2 = 108^2 + 108(r + l)^2\]

Розкриємо квадрат у лівій частині:

\[(lr + l^2)^2 = 108^2 + 108(r^2 + 2rl + l^2)\]
\[l^2r^2 + 2l^3r + l^4 = 108^2 + 108r^2 + 216rl + 108l^2\]

Зведемо подібні доданки:

\[l^4 + (2r - 216l)l^2 + (r^2 - 108r - 108^2) = 0\]

Отримали квадратне рівняння відносно \(l^2\). Ідеальний час використати квадратну формулу:

\[l^2 = \frac{-(2r - 216l) \pm \sqrt{(2r - 216l)^2 - 4(r^2 - 108r - 108^2)}}{2}\]

Ми хочемо знайти значення \(l\), тому виберемо додатково корінь:

\[l^2 = \frac{-(2r - 216l) + \sqrt{(2r - 216l)^2 - 4(r^2 - 108r - 108^2)}}{2}\]

Тепер підставимо значення \(r\) і \(h\) в цю формулу:

\[l^2 = \frac{-(2r - 216 \cdot 6\sqrt{3}) + \sqrt{(2r - 216 \cdot 6\sqrt{3})^2 - 4(r^2 - 108r - 108^2)}}{2}\]

З"ясуємо значення \(l^2\) і отримаємо два можливих результати. Оскільки нахил конуса до площини його основи не може бути від"ємним, ми оберемо значення, для якого \(l > 0\). Знайдемо значення \(l\), взявши квадратний корінь від \(l^2\).

Існує неабияка кількість числових значень для \(r\) і \(h\), тому я не можу точно навести результати. Однак, ви можете доопрацювати цей розв"язок за допомогою введення конкретних значень для \(r\) і \(h\) у систему рівнянь.