Який кут створює відрізок bc від точки a, якщо a має координати (2 3 1), b має координати (1 3 2), c має координати

Zagadochnyy_Peyzazh

23

Чтобы найти угол, который образует отрезок BC с точкой A в трехмерном пространстве, мы можем использовать свойства скалярного произведения и длины вектора.

Первым шагом мы должны найти векторы AB и AC, соединяющие точку A с точками B и C соответственно.

Вектор AB можно найти, вычислив разность координат между точками B и A:
\[ \mathbf{AB} = (1 - 2, 3 - 3, 2 - 1) = (-1, 0, 1) \]

Аналогично, вектор AC можно получить, вычислив разность координат между точками C и A:
\[ \mathbf{AC} = (1 - 2, 4 - 3, 1 - 1) = (-1, 1, 0) \]

Теперь, применив формулу скалярного произведения двух векторов:
\[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\theta) \]

где |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC соответственно, а \(\theta\) - угол между векторами AB и AC.

Мы знаем, что медиана треугольника делит другую сторону пополам. Значит, точка M, находящаяся на отрезке BC, является серединой этого отрезка. Поэтому вектор BM и вектор MC равны между собой и являются половиной длины вектора BC.

Таким образом, мы можем найти вектор BM, деля вектор AB пополам:
\[ \mathbf{BM} = \frac{1}{2} \mathbf{AB} = \left(\frac{-1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right) \]

Теперь мы можем найти вектор MC, используя тот факт, что вектор MC равен вектору AC минус вектор BM:
\[ \mathbf{MC} = \mathbf{AC} - \mathbf{BM} = \left(-1, 1, 0\right) - \left(\frac{-1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2}\right) \]

Так как вектор BM и вектор MC равны, значит, вектор BC равен вектору BM плюс вектор MC:
\[ \mathbf{BC} = \mathbf{BM} + \mathbf{MC} = \left(\frac{-1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2}\right) = (-1, 1, 0) \]

Итак, мы получили вектор BC равный (-1, 1, 0).

Теперь мы можем использовать свойство скалярного произведения для определения угла между вектором BC и вектором AB:
\[ \mathbf{BC} \cdot \mathbf{AB} = |BC| \cdot |AB| \cdot \cos(\theta) \]

где |BC| и |AB| - длины векторов BC и AB соответственно, а \(\theta\) - угол между этими векторами.

Найдем длины векторов BC и AB:
\[ |BC| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \]
\[ |AB| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]

Тогда скалярное произведение \(\mathbf{BC} \cdot \mathbf{AB}\) будет:
\[ \mathbf{BC} \cdot \mathbf{AB} = (-1, 1, 0) \cdot (-1, 0, 1) = 1 + 0 + 0 = 1 \]

Теперь мы можем найти угол \(\theta\) по формуле:
\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{BC} \cdot \mathbf{AB}}{|BC| \cdot |AB|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \]

Используя таблицу значений тригонометрических функций, находим значение угла \(\theta\), для которого \(\cos(\theta) = \frac{1}{2}\). Угол \(\theta\) равен \(60^\circ\) или \(\frac{\pi}{3}\) радиан.

Таким образом, угол, который образует отрезок BC с точкой A, равен \(60^\circ\) или \(\frac{\pi}{3}\) радиан.