Який є максимальний кут, який може утворити драбина зі стіною, якщо її ніжки прилягають до підлоги з коефіцієнтом тертя

Arina

21

Для розв"язання цієї задачі, використаємо умову рівноваги. В самій точці рівноваги, сили тертя з одного боку дорівнюють силам тертя з іншого боку. Давайте розглянемо докладніше.

Нехай \( F_1 \) і \( F_2 \) - це сили тертя від драбини. Припустимо, що саме ця сила тертя утримує драбину у рівновазі. Тоді сили тертя можна виразити як \( F_1 = f_1N \) і \( F_2 = f_2N \), де \( N \) - нормальна сила, що дорівнює вазі драбини, \( f_1 \) і \( f_2 \) - коефіцієнти тертя для підлоги та стіни відповідно.

Ми знаємо, що центр ваги драбини розташований на половині її довжини. Оскільки центр ваги знаходиться на половині довжини, то на кожному боці від центру ваги відстань до стіни буде однаковою. Тому сили тертя на обох боках драбини будуть однакові та спрямовані у протилежних напрямках.

Тепер ми можемо записати умову рівноваги для сил тертя. За умови рівноваги, \( F_1 = F_2 \). Підставляючи значення сил тертя, ми отримуємо \( f_1N = f_2N \). Скасовуємо \( N \) та отримуємо \( f_1 = f_2 \). Це означає, що коефіцієнти тертя для підлоги та стіни повинні бути рівними.

В умові задачі наводиться, що коефіцієнт тертя для підлоги дорівнює 0,4. Тому коефіцієнт тертя для стіни також буде 0,4.

Тепер ми можемо обчислити максимальний кут, який може утворити драбина зі стіною. Для цього використаємо формулу \(\tan(\theta) = \frac{{f_2}}{{1 - f_1}}\), де \(\theta\) - шуканий кут, \(f_1\) - коефіцієнт тертя для підлоги, \(f_2\) - коефіцієнт тертя для стіни.

Підставляючи відповідні значення, отримуємо \(\tan(\theta) = \frac{{0,4}}{{1 - 0,4}}\).

Обчислюємо вираз \(\frac{{0,4}}{{1 - 0,4}}\) і отримуємо \(\tan(\theta) \approx 0,6667\).

Щоб знайти кут \(\theta\), застосуємо обернену тангенс функцію: \(\theta \approx \tan^{-1}(0,6667)\).

Використовуючи калькулятор, отримуємо \(\theta \approx 33,69^\circ\).

Отже, максимальний кут, який може утворити драбина зі стіною, становить приблизно \(33,69^\circ\).