Який є об єм циліндра, якщо діагональ осьового перерізу циліндра нахилена до площини основи під кутом 45◦, а периметр

Ледяной_Огонь

54

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрические свойства цилиндров и прямоугольных треугольников.

Пусть \(r\) - радиус основы цилиндра, \(h\) - высота цилиндра и \(d\) - диагональ осевого сечения цилиндра.

Зазначено в задаче, что периметр осьового перерізу дорівнює 20 см. Так как осевой переріз цилиндра - это окружность, периметр можно записать следующим образом:

\[2\pi r = 20\]

Отсюда можно выразить радиус \(r\):

\[r = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi}\]

Кроме того, нам дано, что диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основы на угол 45◦. Так как основание цилиндра - это круг, а диагональ осевого сечения - это диаметр этого круга, то диагональ делит окружность на два равных дуги под углом 45◦ каждая. Поскольку угол всегда измеряется относительно хорды окружности, угол между диагональю и хордой равен половине заданного угла в 45◦:

\[45\div 2 = 22.5^\circ\]

Зная этот угол и радиус \(r\), мы можем вычислить длину хорды, которая является основой этого прямоугольного треугольника:

\[b = 2r\sin(22.5^\circ)\]

Используя соотношение Пифагора для прямоугольных треугольников, мы теперь можем найти высоту \(h\):

\[h = \sqrt{d^2 - b^2}\]

Подставляя значения диагонали \(d\) и основы \(b\) вместе со значениями радиуса \(r\), мы можем рассчитать высоту.