Який є об єм конуса, якщо твірна конуса дорівнює 4 і дорівнює радіусу кола, описаного навколо осьового перерізу конуса?

Buran

50

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать формулу для объема конуса. Объем конуса вычисляется по следующей формуле:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

где \(V\) - объем конуса, \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

В данной задаче нам дано, что твёрдым конусом является осевой перерез конуса, а радиус \(r\) осевого перереза равен 4. Так как твёрдый конус имеет форму тела вращения, образованного врашением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, то гипотенуза этого прямоугольного треугольника является твёрдой телорукой этого конуса, а именно \(r\) равно радиусу описанной окружности, что будет являться гипотенузой этого прямоугольного треугольника.

Теперь найдем радиус основания конуса \(R\) через радиус \(r\) твёрдой телорукой и высоту конуса \(h\). По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике имеем:

\[R^2 = r^2 + h^2\]

Так как в задаче дано, что \(r = 4\), то получаем:

\[R^2 = 4^2 + h^2\]
\[R^2 = 16 + h^2\]

Теперь применяем формулу объема конуса, используя найденное значение радиуса \(R\) и высоту \(h\):

\[V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\]

Подставляем выражение для \(R^2\), полученное ранее:

\[V = \frac{1}{3} \pi (16 + h^2) h\]

Таким образом, объем конуса может быть выражен формулой:

\[V = \frac{1}{3} \pi (16h + h^3)\]

Это и есть требуемый ответ.