Який об єм конуса з радіусом основи, що дорівнює r і має прямокутний трикутник в осьовому перерізі?

Малыш

67

Щоб вирішити цю задачу, нам потрібно використати формулу для об"єму конуса. Формула об"єму конуса виглядає наступним чином:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

де V - об"єм конуса, r - радіус основи конуса, а h - висота конуса.

Так як у нас є прямокутний трикутник в осьовому перерізі, можемо скористатися теоремою Піфагора, щоб знайти висоту конуса. Згідно з теоремою Піфагора, сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи.

\[ h^2 = r^2 + l^2 \]

де l - довжина гіпотенузи прямокутного трикутника.

Знаючи висоту конуса, ми можемо підставити значення у формулу об"єму конуса та отримати остаточний вираз для об"єму конуса.

Наведемо розв"язок задачі крок за кроком:

1. Запишемо формулу об"єму конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

2. Застосуємо теорему Піфагора для знаходження висоти конуса: \( h^2 = r^2 + l^2 \).

3. Розв"яжемо рівняння з кроку 2 відносно висоти: \( h = \sqrt{r^2 + l^2} \).

4. Підставимо значення висоти з кроку 3 у формулу об"єму: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{r^2 + l^2} \).

Отже, об"єм конуса з радіусом основи, що дорівнює r і має прямокутний трикутник в осьовому перерізі, дорівнює \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{r^2 + l^2} \).