Який об єм правильної трикутної піраміди, вписаної в кулю радіусом 7 см, якщо в у нас двокутний кут при ребрі основи

Moroznyy_Korol

39

Для решения данной задачи нам потребуется знание основ геометрии, а именно формулы для объема пирамиды и формулы для объема шара.

Формула для объема пирамиды выглядит следующим образом: \( V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h \), где \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания пирамиды, а \( h \) - высота пирамиды.

Также, нам понадобится формула для объема шара: \( V = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3 \), где \( \pi \) - математическая константа, равная примерно 3,14, а \( R \) - радиус шара.

Перед тем, как продолжить, давайте найдем площадь основания пирамиды. Обратите внимание, что в нашем случае основание пирамиды - двугранный угол в форме равностороннего треугольника со стороной \( а \). Площадь такого треугольника можно найти по формуле: \( S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \).

Таким образом, нам понадобится найти сторону основания пирамиды для применения формулы и нахождения объема. Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения значения стороны \( a \).

Внимательно изучив задачу, мы можем заметить, что треугольник в плоскости основания пирамиды является равносторонним, так как двугранный угол равен 60 градусам. Это значит, что все стороны основания пирамиды равны между собой.

Воспользуемся формулой для нахождения стороны равностороннего треугольника: \( a = \frac{2R}{\sqrt{3}} \).

Подставим это значение в формулу для площади основания пирамиды: \( S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 \).

Упростим выражение: \( S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{4R^2}{3} = \frac{\sqrt{3} R^2}{3} \).

Теперь, когда мы знаем площадь основания пирамиды, мы можем перейти к нахождению высоты пирамиды. В нашем случае, основание пирамиды - равносторонний треугольник, и высота пирамиды будет проходить через его центр и перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, высота пирамиды будет равна высоте равностороннего треугольника.

Формула для нахождения высоты равностороннего треугольника: \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \).

Подставим значение стороны основания пирамиды: \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2R}{\sqrt{3}} = R \).

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота пирамиды, мы можем перейти к нахождению объема пирамиды.

Формула для объема пирамиды: \( V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h \).

Подставим значения: \( V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3} R^2}{3} \times R \).

Упростим выражение: \( V = \frac{\sqrt{3} R^3}{9} \).

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды, вписанной в сферу радиусом 7 см, с углом при основании, равным 60 градусам, будет равен \( \frac{\sqrt{3} \times 7^3}{9} = \frac{7^3 \sqrt{3}}{9} \) кубических сантиметров.