Який повинен бути найменший радіус плота, щоб світло від лампи не вилітало на поверхню після того, як його опустили

Дружок

67

Для того чтобы рассчитать минимальный радиус плота, при котором свет не будет вылетать на поверхность воды, мы должны учесть два фактора: закон преломления света и геометрические свойства плота.

Закон преломления света, известный как закон Снеллиуса, гласит, что угол падения света на границу раздела двух сред равен углу преломления, умноженному на отношение показателей преломления сред. Таким образом, у нас есть следующая формула:

\[\frac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}\]

где \(\theta_1\) - угол падения света, \(\theta_2\) - угол преломления, \(n_1\) и \(n_2\) - показатели преломления сред.

В нашем случае, свет проходит из воздуха (где показатель преломления примерно равен 1) в воду (где показатель преломления равен 1,33). Поскольку свет падает перпендикулярно границе раздела, угол падения будет равен 90 градусам, и соответствующий синус будет равен 1. Мы можем использовать эту информацию для упрощения расчетов:

\[\frac{1}{\sin(\theta_2)} = \frac{1,33}{1}\]

Теперь мы можем вычислить значение синуса угла преломления \(\theta_2\):

\[\sin(\theta_2) = \frac{1}{1,33}\]

\[\theta_2 \approx 0,7546 \text{ радиан}\]

Зная угол преломления, мы можем рассчитать расстояние между точкой входа света в воду и точкой, где свет выходит на поверхность. Для этого мы используем тригонометрию прямоугольного треугольника, где высота треугольника соответствует глубине погружения воды:

\[\sin(\theta_2) = \frac{\sqrt{(R - r)^2 - D^2}}{R}\]

где \(R\) - радиус плота, \(r\) - радиус лампы, \(D\) - глубина погружения воды.

Мы знаем значения для \(D\) (10 метров) и \(\theta_2\) (приблизительно 0,7546 радиан), поэтому можем найти радиус плота \(R\):

\[\frac{\sqrt{(R - r)^2 - D^2}}{R} = \sin(0,7546)\]

Теперь мы можем решить эту уравнение для \(R\), для этого сначала возведем обе части уравнения в квадрат:

\[\frac{(R - r)^2 - D^2}{R^2} = \sin^2(0,7546)\]

\[(R - r)^2 - D^2 = R^2 \cdot \sin^2(0,7546)\]

\[(R - r)^2 = D^2 + R^2 \cdot \sin^2(0,7546)\]

Извлекаем квадратный корень:

\[R - r = \sqrt{D^2 + R^2 \cdot \sin^2(0,7546)}\]

Теперь, переносим все части с R на одну сторону уравнения:

\[R - \sqrt{D^2 + R^2 \cdot \sin^2(0,7546)} = r\]

\[R = r + \sqrt{D^2 + R^2 \cdot \sin^2(0,7546)}\]

Мы не можем разрешить это уравнение аналитически, но мы можем использовать численные методы, чтобы получить численное значение для радиуса плота.