Який радіус металевої кулі, отриманої з переплавки циліндра з твірним радіусом 9 см і радіусом 2 см? Уважайте

Владимирович

37

Поставлена вам задача про визначення радіусу металевої кулі, отриманої з переплавки циліндра з твірним радіусом 9 см і радіусом 2 см. Для розв"язання цієї задачі ми можемо скористатися відомими формулами для об"єму циліндра та кулі.

Об"єм циліндра \(V_c\) можна обчислити за формулою:

\[V_c = \pi \cdot r_c^2 \cdot h_c,\]

де \(r_c\) - радіус циліндра, \(h_c\) - висота циліндра і \(\pi\) - число пі.

Об"єм кулі \(V_k\) можна обчислити за формулою:

\[V_k = \frac{4}{3}\pi \cdot r_k^3,\]

де \(r_k\) - радіус кулі і \(\pi\) - число пі.

За умовою маємо, що ця куля була отримана з переплавки циліндра. Це означає, що об"єми циліндра і кулі мають бути однакові:

\[V_c = V_k.\]

Підставляємо формули об"ємів циліндра і кулі:

\[\pi \cdot r_c^2 \cdot h_c = \frac{4}{3}\pi \cdot r_k^3.\]

Так як умова задачі не надає жодних додаткових даних про висоту циліндра або кулі, ми не можемо напряму визначити їх значення. Але, оскільки нас цікавить радіус кулі \(r_k\), то можемо спростити формулу, розділивши на \(r_c^2\):

\[h_c = \frac{4}{3}\cdot \frac{r_k^3}{r_c^2}.\]

Тепер ми можемо вирішити задачу шляхом підстановки значення \(r_c = 9\) см та \(r_k = 2\) см. Ведь згідно умови задачі, ми маємо циліндр з твірним радіусом 9 см і отримуємо з нього кулю з радіусом 2 см. Підставляємо ці дані:

\[h_c = \frac{4}{3}\cdot \frac{2^3}{9^2} = \frac{4}{3}\cdot \frac{8}{81} = \frac{32}{243}.\]

Таким чином, обчислили висоту циліндра \(h_c\) і ми можемо підставити значення \(h_c\) та \(r_c\) в формулу об"єму циліндра для знаходження об"єму \(V_c\):

\[V_c = \pi \cdot 9^2 \cdot \frac{32}{243} = \frac{2592}{243} \pi = \frac{352}{33} \pi.\]

Отже, отримали об"єм циліндра \(V_c\). І, оскільки за умовою ми маємо, що об"єми циліндра і кулі мають бути однакові, то об"єми циліндра і кулі дорівнюють один одному:

\[V_c = V_k = \frac{352}{33} \pi.\]

Для знаходженні радіусу кулі ми можемо спростити формулу об"єму кулі, замінивши об"єм \(V_k\) та \(r_k\):

\[\frac{4}{3}\pi \cdot r_k^3 = \frac{352}{33} \pi.\]

Тепер використовуємо алгебраїчні операції, щоб знайти \(r_k\):

\[r_k^3 = \frac{352}{33} \cdot \frac{3}{4} = \frac{352}{11}.\]

Підносимо обидві сторони рівняння до степеня \(1/3\):

\[r_k = \left(\frac{352}{11}\right)^{1/3}.\]

За допомогою калькулятора до першого знаку після десяткової коми отримуємо:

\[r_k \approx 3.58\ \text{см}.\]

Таким чином, радіус металевої кулі, отриманої з переплавки циліндра, дорівнює приблизно 3.58 см.