Який знаменник геометричної прогресії, якщо добуток перших трьох її членів дорівнює 64, а сьомий член - 128?

Сладкий_Ангел

18

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на постоянное число, которое называется знаменателем прогрессии.

Дано, что добуток первых трех членов прогрессии равен 64, а седьмой член равен 128.

Обозначим первый член прогрессии как \(a\), а знаменатель прогрессии - как \(q\).

Теперь мы можем записать условие задачи следующим образом:

\[a \cdot a \cdot a \cdot q \cdot q \cdot q = 64\]
\[a^3q^3 = 64\]
\[a^3q^3 = 2^6\]

Также у нас есть информация о седьмом члене:

\[a \cdot q^6 = 128\]

Теперь мы можем сопоставить полученные уравнения и избавиться от неизвестной переменной \(a\):

\[\frac{{a^3q^3}}{{a \cdot q^6}} = \frac{{2^6}}{{128}}\]
\[aq^{-3} = \frac{{2^6}}{{2^7}}\]
\[q^{-3} = \frac{1}{2}\]
\[q = \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{3}}\]
\[q = 2^{\frac{1}{3}}\]
\[q = \sqrt[3]{2}\]

Таким образом, знаменник геометрической прогрессии равен \(\sqrt[3]{2}\).

После подстановки данного значения в уравнение с седьмым членом, мы можем найти первый член прогрессии:

\[a \cdot \left(2^{\frac{1}{3}}\right)^6 = 128\]
\[a \cdot 2^2 = 128\]
\[a \cdot 4 = 128\]
\[a = \frac{128}{4}\]
\[a = 32\]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 32, а знаменник - \(\sqrt[3]{2}\).