Якого числа дорівнює сума всіх цілих розв язків нерівності (x^2-7x+10)(x-9)^2 меншої або дорівнює?

Lastik

30

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти все целочисленные решения неравенства \((x^2-7x+10)(x-9)^2 \leq 0\). Для начала, давайте разложим многочлен на множители:

\((x^2-7x+10)(x-9)^2 = (x-5)(x-2)(x-9)^2\)

Теперь нам нужно определить, когда произведение трех множителей \((x-5)\), \((x-2)\) и \((x-9)^2\) меньше или равно нулю.

Для того чтобы найти ответ, мы можем использовать метод интервалов. Для этого проведем график наших трех множителей на числовой оси:

\[
\begin{array}{c|ccc}
& x < 2 & 2 \leq x < 5 & x \geq 5 \\
\hline
(x-5) & - & - & + \\
(x-2) & - & + & + \\
(x-9)^2 & + & + & 0
\end{array}
\]

На основании этой таблицы, мы можем сделать следующие выводы:

1. Множитель \((x-5)\) равен нулю при \(x = 5\).
2. Множитель \((x-2)\) равен нулю при \(x = 2\).
3. Множитель \((x-9)^2\) равен нулю при \(x = 9\).

Теперь, используя эти точки, мы можем разбить числовую прямую на несколько интервалов и определить знак произведения множителей внутри каждого интервала.

1. Для интервала \(x < 2\), все три множителя отрицательны, поэтому произведение будет положительным.
2. Для интервала \(2 \leq x < 5\), два множителя отрицательны (\((x-5)\) и \((x-2)\)), а третий множитель положителен (\((x-9)^2\)). Так как количество отрицательных множителей нечётное, произведение будет отрицательным.
3. Для интервала \(x \geq 5\), все три множителя положительны, поэтому произведение будет положительным.

Теперь мы можем составить список интервалов, в которых произведение множителей меньше или равно нулю:

1. \(-\infty < x < 2\)
2. \(2 \leq x < 5\)

Теперь мы должны найти все целочисленные значения \(x\) в этих интервалах. Для первого интервала, мы можем выбрать, например, \(x = 1, x = 0, x = -1\) и т.д. Для второго интервала, мы можем выбрать, например, \(x = 3, x = 4\) и т.д.

Подставляя эти значения в исходное неравенство, мы можем определить, какие из них удовлетворяют условию. Например, при \(x = 1\) неравенство принимает вид:

\((1^2 - 7 \cdot 1 + 10)(1 - 9)^2 = (4)(-8)^2 = 256\)

Так как 256 больше нуля, значение \(x = 1\) не подходит. Аналогично, мы можем проверить значения для остальных целых чисел из каждого интервала.

Таким образом, сумма всех целочисленных решений данного неравенства будет зависеть от количества целочисленных значений \(x\), удовлетворяющих неравенству. Предлагаю вам самостоятельно проверить значения для каждого интервала и сложить полученные целочисленные решения.