Какое число является вторым корнем уравнения x²+px+50=0? И какое значение имеет p? Воспользуйтесь теоремой Виета

Алексеевна

9

Давайте рассмотрим уравнение x² + px + 50 = 0. Чтобы найти корни уравнения, мы можем использовать теорему Виета, которая устанавливает связь между коэффициентами уравнения и его корнями.

Согласно теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения x² + px + 50 = 0 равна -p, а произведение корней равно константе 50.

Первый корень у нас неизвестен. Но второй корень мы можем найти, зная, что произведение корней равно 50 и зная первый корень.

Давайте найдем первый корень уравнения. Для этого воспользуемся формулой:

\[x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае, a = 1, b = p, и c = 50. Подставим эти значения:

\[x = \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2 - 200}}{2}\]

Так как нам нужен второй корень, мы будем использовать знак минус:

\[x_2 = \dfrac{-p - \sqrt{p^2 - 200}}{2}\]

Мы знаем, что второй корень равен -p - \sqrt{p^2 - 200}/2. Вопрос состоит в том, какое значение должно быть у p, чтобы это число было действительным (real) корнем?

Чтобы второй корень был действительным (real), дискриминант (выражение под корнем) должен быть больше или равен нулю.

Таким образом, мы можем записать неравенство:

\[p^2 - 200 \geq 0\]

Решим это неравенство, чтобы определить диапазон значений p. Для этого добавим 200 к обеим сторонам:

\[p^2 \geq 200\]

Теперь извлечем квадратный корень из обоих частей неравенства. Но будем помнить, что мы работаем только с действительными значениями, поэтому верхний корень будет положительным, а нижний - отрицательным:

\[p \geq \sqrt{200}\] или \[p \leq -\sqrt{200}\]

Таким образом, чтобы второй корень x₂ был действительным (real), p должно быть больше или равно \(\sqrt{200}\) или меньше или равно \(-\sqrt{200}\).

Надеюсь, это подробное и обоснованное объяснение помогло понять, какое число является вторым корнем уравнения и какое значение может иметь p. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!