Якова довжина відрізка АА1 (у см), якщо довжини ВВ1 = 10 см, СС1 = 12 см, і ставки АС : ВС

Космос

62

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать теорему Пифагора и понимание пропорций.

По условию, у нас есть треугольник АВС, в котором известны длины отрезков ВВ1 и СС1, а также отношение АС к ВС. Давайте обозначим длину отрезка АА1, как "х".

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы в квадрате равна сумме квадратов длин катетов. В нашем случае гипотенузой будет отрезок АС, а катетами - отрезки АА1 и АВ.

\[АС^2 = АА1^2 + АВ^2 \]

Если нам известны длины отрезков ВВ1 и СС1, мы можем выразить длину АС через их сумму:

\[АС = ВС + СС1 \]

Также, из задачи нам дано отношение длин АС к ВС:

\[ \frac{АС}{ВС} = x \]

Теперь, имея все необходимые данные, мы можем составить выражение для длины отрезка АА1 в зависимости от "х":

\[ (ВС + СС1)^2 = АА1^2 + АВ^2 \]

Заменяем АВ на ВВ1, так как по условию имеем равные отрезки:

\[ (ВС + СС1)^2 = АА1^2 + ВВ1^2 \]

Теперь подставим известные значения ВВ1 = 10 см и СС1 = 12 см и получим:

\[ (ВС + 12)^2 = АА1^2 + 10^2 \]

Мы также знаем, что отношение АС к ВС равно "х":

\[ \frac{АС}{ВС} = x \]

Подставляем АС = ВС + СС1 и получаем:

\[ \frac{ВС + СС1}{ВС} = x \]

Упрощаем:

\[ \frac{ВС}{ВС} + \frac{СС1}{ВС} = x \]

\[ 1 + \frac{СС1}{ВС} = x \]

Теперь, используя это отношение, мы можем записать уравнение для длины отрезка АА1:

\[ (ВС + 12)^2 = АА1^2 + 10^2 \]

Подставляем вместо ВС его значение, выраженное через "х":

\[ (xВС + 12)^2 = АА1^2 + 10^2 \]

Раскрываем квадрат и получаем:

\[ x^2ВС^2 + 24xВС + 144 = АА1^2 + 100 \]

Так как нам задали найти длину отрезка АА1, мы можем привести это уравнение к виду:

\[ АА1^2 = x^2ВС^2 + 24xВС + 44 \]

Окончательное уравнение приводится к следующему виду:

\[ АА1 = \sqrt{x^2ВС^2 + 24xВС + 44} \]

Подставив изначальное отношение АС к ВС, мы получим выражение для АА1 в зависимости от "х".