Якою буде період коливань, якщо масу тягарця збільшити у 8 разів, а жорсткість пружини збільшити в 2 рази, якщо період

Изумруд

13

Для решения данной задачи нам понадобятся две формулы:

1) Формула периода колебаний математического маятника:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]
где \(T\) - период колебаний, \(m\) - масса тяжелого тела, \(k\) - жесткость пружины.

2) Зависимость жесткости пружины от ее удлинения:
\[k = \frac{F}{x}\]
где \(k\) - жесткость пружины, \(F\) - сила, действующая на пружину, \(x\) - удлинение пружины.

Итак, у нас есть исходные данные:

Период колебаний тяжелого тела на пружине до изменений составляет \(T_1 = 3,6\) секунд.

Масса тела после изменений составляет \(m_2 = 8m_1\), где \(m_1\) - исходная масса.

Жесткость пружины после изменений составляет \(k_2 = 2k_1\), где \(k_1\) - исходная жесткость.

Мы должны найти период колебаний после изменений \(T_2\)

Давайте начнем с нахождения исходных значений массы и жесткости тяжелого тела на пружине до изменений:

Из формулы периода колебаний математического маятника:
\[T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k_1}}\]

Для анализа отношений, мы можем возвести эту формулу в квадрат:
\[T_1^2 = (2\pi)^2\frac{m_1}{k_1}\]

Теперь, чтобы найти период колебаний после изменений \(T_2\), мы можем воспользоваться этой формулой, заменив \(m_1\) и \(k_1\) на соответствующие значения после изменений и решив уравнение относительно \(T_2^2\):

\[T_2^2 = (2\pi)^2\frac{m_2}{k_2}\]

Подставляя значения после изменений, получаем:
\[T_2^2 = (2\pi)^2\frac{8m_1}{2k_1}\]

Упрощая выражение, получаем:
\[T_2^2 = 16(2\pi)^2\frac{m_1}{k_1}\]

Теперь заменяем \(T_1^2\) по изначальной формуле:
\[T_2^2 = 16T_1^2\]

Чтобы найти \(T_2\), мы извлекаем корень из обоих частей уравнения:
\[T_2 = 4T_1\]

Таким образом, период колебаний после изменений будет равен 4 разам исходного периода, то есть:
\[T_2 = 4 \cdot 3,6 = 14,4\] секунды.

Ответ: Период колебаний после изменений составит 14,4 секунды.