Якщо в одній трубці, вертикально опущеній у рідину, яка добре змочує скло, діаметром 1мм, а в іншій - діаметром 1,55мм

Черепашка_Ниндзя

55

Для розв"язання цієї задачі ми використовуємо формулу для рівноваги поверхневого натягу:

\[ F = T \cdot l \]

де \( F \) - сила, яка діє на поверхню рідини, \( T \) - поверхневий натяг, а \( l \) - довжина контуру, по якому діє поверхневе натяг.

В даній задачі у нас є дві трубки, тому для обох трубок сили поверхневого натягу будуть різними. Але ми знаємо, що рідину піднялося вище на 5 мм в другій трубці, ніж в першій. Це означає, що різниця висоти підняття рідини між цими трубками дорівнює 5 мм.

Так як ми не знаємо довжину контуру кожної трубки, ми припустимо, що довжина контуру кожної трубки дорівнює довжині трубки по вертикалі, тобто довжині трубки внизу.

Для першої трубки діаметром 1 мм, радіус буде \( r_1 = \frac{1}{2} \) мм = 0,0005 м.
Для другої трубки діаметром 1,55 мм, радіус буде \( r_2 = \frac{1,55}{2} \) мм = 0,000775 м.

Тепер ми можемо використовувати формулу для поверхневого натягу для обох трубок:

\[ T_1 = \frac{F_1}{l_1} \]
\[ T_2 = \frac{F_2}{l_2} \]

За умовою задачі, рідину піднялося на 5 мм вище в другій трубці, тому \( l_2 = l_1 + 5 \) мм.

Тепер нам потрібно знайти відношення поверхневих натягів:

\[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{F_2 / l_2}{F_1 / l_1} = \frac{F_2}{F_1} \cdot \frac{l_1}{l_2} \]

Запишемо формулу для сил поверхневого натягу в обох трубках:

\[ F_1 = 2\pi r_1 \cdot T_1 \]
\[ F_2 = 2\pi r_2 \cdot T_2 \]

Підставивши ці значення, отримаємо:

\[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi r_2 \cdot T_2}{2\pi r_1 \cdot T_1} \cdot \frac{l_1}{l_2} \]

Знаючи, що \( r_1 = 0,0005 \) м, \( r_2 = 0,000775 \) м, \( l_2 = l_1 + 0,005 \) м, ми можемо розрахувати відношення поверхневих натягів:

\[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi \cdot 0,000775 \cdot T_2}{2\pi \cdot 0,0005 \cdot T_1} \cdot \frac{l_1}{l_1 + 0,005} \]

Оскільки ми маємо значення для висоти \( h \), а не довжину, ми можемо використовувати співвідношення \( h = \frac{l}{\pi \cdot r^2} \) для знаходження значення довжини \( l \).

Підставимо це значення в формулу для відношення поверхневих натягів:

\[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi \cdot 0,000775 \cdot T_2}{2\pi \cdot 0,0005 \cdot T_1} \cdot \frac{\frac{h}{\pi \cdot r_1^2}}{\frac{h}{\pi \cdot r_1^2} + 0,005} \]

Знищимо знаменники \( \pi \):

\[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{2 \cdot 0,000775 \cdot T_2}{2 \cdot 0,0005 \cdot T_1} \cdot \frac{\frac{h}{r_1^2}}{\frac{h}{r_1^2} + 0,005} \]

Скасуємо змінні \( 2 \) та \( 0,000775 \):

\[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_2}{T_1} \cdot \frac{\frac{h}{r_1^2}}{\frac{h}{r_1^2} + 0,005} \]

Враховуючи, що нам відоме відношення висот \( h \), ми можемо знайти відношення поверхневих натягів:

\[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{h}{h + 0,005 \cdot r_1^2} \]

Підставивши значення \( h = 0,005 \) м і \( r_1 = 0,0005 \) мм, отримаємо:

\[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{0,005}{0,005 + 0,005 \cdot 0,0005^2} \]

За допомогою калькулятора, отримуємо:

\[ \frac{T_2}{T_1} \approx 0,9998 \]

Отже, відношення поверхневих натягів рідини є приблизно рівним 0,9998.