Яку довжину має гіпотенуза АВ прямокутного трикутника АВС, якщо АС = 8 см і sin A = 0,6?

Панда

24

Для начала, давайте вспомним теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

где \(c\) - длина гипотенузы, а \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Мы знаем, что \(AC = 8\) см, но нам не известно значение угла A. Тем не менее, мы знаем значение синуса этого угла: \(\sin A = 0,6\).

Для решения данной задачи нам потребуется использовать связь между значениями синуса и соответствующего угла.

Синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\[\sin A = \frac{BC}{AC}\]

Мы знаем \(AC = 8\) см и \(\sin A = 0,6\), поэтому мы можем найти длину катета \(BC\).

Давайте решим уравнение:

\[0,6 = \frac{BC}{8}\]

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от знаменателя:

\[0,6 \cdot 8 = BC\]
\[4,8 = BC\]

Таким образом, длина катета \(BC\) равна 4,8 см.

Теперь мы можем используя теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы \(AB\). Подставим известные значения в уравнение:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]
\[AB^2 = 8^2 + 4,8^2\]
\[AB^2 = 64 + 23,04\]
\[AB^2 = 87,04\]

Теперь возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти длину гипотенузы:

\[AB = \sqrt{87,04}\]
\[AB \approx 9,33\]

Таким образом, длина гипотенузы \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равна приблизительно 9,33 см.