Яку довжину має сторона n-кутника? Вирахуйте радіус кола, яке вписане в нього, вважаючи: а) n=3; б) n=4; в) n=6

Марина

42

Для решения этой задачи, нам понадобится знание основ геометрии и связей между различными фигурами.

а) Если \(n=3\), то у нас имеется треугольник. Вершины треугольника соединены тремя сторонами.

Давайте обозначим длину стороны треугольника как \(s\). Если мы нарисуем окружность, вписанную в треугольник, то каждый из трех радиусов окружности будет радиусом окружности. А также каждый из этих радиусов будет являться высотой для соответствующего бокового треугольника.

По свойству вписанной окружности, каждый радиус будет перпендикулярным к соответствующей стороне треугольника, а значит, будет являться высотой.

Таким образом, каждый из боковых треугольников будет прямоугольным, а высота в таком треугольнике будет являться его катетом.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, получаем:

\[
s^2 = h^2 + r^2
\]

где \(s\) - сторона треугольника, \(h\) - высота треугольника, \(r\) - радиус вписанной окружности.

Так как высота треугольника делит его на два прямоугольных треугольника одинаковой формы, то можно сказать, что \(h = \frac{1}{2}s\).

Подставив это значение в уравнение, получим:

\[
s^2 = \left(\frac{1}{2}s\right)^2 + r^2
\]

Сокращая и приводя подобные члены получим:

\[
s^2 = \frac{1}{4}s^2 + r^2
\]

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[
4s^2 = s^2 + 4r^2
\]

Перенесём все члены на одну сторону и сократим:

\[
3s^2 = 4r^2
\]

Теперь мы можем выразить радиус \(r\) через сторону треугольника \(s\):

\[
r^2 = \frac{3}{4}s^2
\]

\[
r = \sqrt{\frac{3}{4}s^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}s
\]

Получается, что радиус вписанной окружности в треугольник с тремя сторонами равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) умножить на длину стороны треугольника \(s\).

б) Если \(n=4\), то у нас имеется четырехугольник или квадрат. В случае квадрата все стороны равны между собой. Поэтому длина каждой стороны равна \(s\).

Используя аналогичное рассуждение и применяя выведенную формулу для радиуса в треугольнике, получим:

\[
r = \frac{\sqrt{2}}{2}s
\]

Таким образом, в квадрате радиус вписанной окружности равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) умножить на длину стороны \(s\).

в) Если \(n=6\), то у нас имеется шестиугольник или правильный гексагон. В случае правильного гексагона все стороны равны между собой, пусть это будет \(s\).

Аналогично предыдущим случаям, применяя формулу для треугольника, получим:

\[
r = \frac{\sqrt{3}}{3}s
\]

Таким образом, в правильном гексагоне радиус вписанной окружности равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) умножить на длину стороны \(s\).

г) Если \(n=18\), то у нас имеется восемнадцатиугольник.

Применяя формулу, аналогичную предыдущим случаям, получим:

\[
r = \frac{\sqrt{3}}{18}s
\]

Таким образом, в восемнадцатиугольнике радиус вписанной окружности равен \(\frac{\sqrt{3}}{18}\) умножить на длину стороны \(s\).

Таким образом, мы нашли радиусы вписанных окружностей для треугольника, квадрата, правильного гексагона и правильного восемнадцатиугольника в зависимости от длины их сторон.