Яку фокусну відстань має об єктив проектора, якщо збільшене в 50 разів зображення розміщене на відстані 4 м від лінзи?

Zvezdopad_Shaman

67

Для решения этой задачи, нам понадобится знание формулы связи между фокусным расстоянием линзы \(f\), расстоянием между линзой и изображением \(d_i\) и расстоянием между линзой и предметом \(d_o\):

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\)

Дано, что зображение увеличивается в 50 раз, а расстояние \(d_i\) равно 4 м. Теперь нам нужно найти расстояние \(d_o\) (расстояние между линзой и предметом).

Используя данную информацию, мы можем записать следующее:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{4}\)

Теперь нам нужно решить эту формулу, чтобы найти фокусное расстояние \(f\).

Умножим обе части уравнения на \(4d_o\), чтобы избавиться от дробей:
\(4d_o \cdot \frac{1}{f} = 4d_o \cdot \frac{1}{d_o} + 4d_o \cdot \frac{1}{4}\)

Упрощаем:
\(4d_o \cdot \frac{1}{f} = 4 + d_o\)

Теперь можно выразить фокусное расстояние \(f\) через \(d_o\):
\(f = \frac{4d_o}{4 + d_o}\)

Теперь, подставив значение увеличения \(d_i = 4\) в данное выражение, мы можем найти фокусное расстояние \(f\).

\(f = \frac{4d_o}{4 + d_o}\)

Мы можем решить данное уравнение с помощью численных методов или предположить некоторые значения для расстояния \(d_o\) и рассмотреть соответствующие значения фокусного расстояния \(f\). Здесь я рассмотрю несколько значений для расстояния \(d_o\):

Если \(d_o = 1 метр\):
\(f = \frac{4 \cdot 1}{4 + 1} = \frac{4}{5} = 0.8 метра\)

Если \(d_o = 2 метра\):
\(f = \frac{4 \cdot 2}{4 + 2} = \frac{8}{6} = 1.33 метра\)

Если \(d_o = 3 метра\):
\(f = \frac{4 \cdot 3}{4 + 3} = \frac{12}{7} \approx 1.71 метра\)

Таким образом, фокусное расстояние \(f\) может быть примерно равно 0.8 метра, 1.33 метра или 1.71 метра, в зависимости от расстояния \(d_o\).