Яку площу має коло, яке описано навколо рівностороннього шестикутника зі стороною 7 см? (π=3,14

Виталий_2192

56

Чтобы найти площадь круга, описанного вокруг равностороннего шестиугольника, мы можем воспользоваться формулой. В данной задаче у нас также есть известная длина стороны \(a\) равностороннего шестиугольника, которая равна 7 см.

Формула для площади круга выглядит следующим образом:

\[S = \pi r^2\]

где \(S\) - площадь круга, \(\pi\) - приближенное значение числа пи (в данной задаче равно 3,14), а \(r\) - радиус круга.

Для нахождения радиуса круга, описанного вокруг равностороннего шестиугольника, нам понадобится использовать длину его стороны. Обратите внимание, что радиус круга равен расстоянию от его центра до любой вершины шестиугольника. В данной задаче, мы можем провести радиус, перпендикулярный одной из сторон равностороннего шестиугольника. Получится равнобедренный треугольник.

Так как шестиугольник является равносторонним, то каждый его угол равен 120 градусам. Тогда угол между радиусом круга и стороной шестиугольника равен половине угла шестиугольника, то есть 60 градусов.

Давайте назовем середину стороны шестиугольника точкой \(M\). Тогда, в треугольнике \(AMM"\), где \(A\) - вершина шестиугольника, \(M\) - середина стороны, а \(M"\) - точка пересечения радиуса с этой стороной, у нас есть прямоугольный треугольник. Из свойств равностороннего треугольника следует, что сторона равна половине диаметра, а диаметр равен двум радиусам. Таким образом, длина стороны равна \(2r\).

Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса, чтобы найти длину стороны равнобедренного треугольника \(AMM"\). Нам известно, что синус угла 60 градусов равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), отношение противоположного катета (длины стороны) к гипотенузе (длине радиуса).

Таким образом, мы можем записать следующее соотношение:

\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AM"}{r}\)

Умножим обе части равенства на \(r\), чтобы избавиться от дроби:

\(\sqrt{3} = \frac{AM"}{r}\)

Нам нужно найти длину стороны, которую мы обозначили \(AM"\). У нас уже есть, что длина стороны равностороннего шестиугольника равна 7 см. Тогда, длина стороны равобедренного треугольника \(AMM"\) равна половине длины стороны шестиугольника, то есть \(\frac{7}{2}\) см.

Теперь, если мы умножим обе части последнего равенства на \(r\), мы сможем выразить \(AM"\) через радиус \(r\):

\(\frac{7}{2} = \frac{AM"}{r}\)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(AM"\), умножив обе части на \(r\):

\(AM" = \frac{7}{2} \cdot r\)

Теперь, мы располагаем равенством, с помощью которого можно найти радиус \(r\). Для этого нужно провести диагональ в равностороннем шестиугольнике. Каждая сторона шестиугольника будет являться основанием равнобедренного треугольника, а радиус круга, описанного вокруг шестиугольника, будет являться его высотой. Так как шестиугольник равносторонний, то длина диагонали равна двум длинам его сторон, а длина высоты равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) от длины его стороны.

Тогда мы можем записать следующее выражение, чтобы найти радиус \(r\):

\(7 = 2 \cdot AM"\)

Подставим значение для \(AM"\):

\(7 = 2 \cdot \frac{7}{2} \cdot r\)

Теперь мы можем решить уравнение относительно радиуса \(r\):

\(7 = 7 \cdot r\)

Деля обе части равенства на 7, мы получаем:

\(1 = r\)

Таким образом, радиус круга равен 1 см.

Теперь, когда мы знаем радиус круга, мы можем найти его площадь, используя формулу:

\[S = \pi r^2\]

Подставим значения: \(\pi = 3,14\) и \(r = 1\):

\[S = 3,14 \cdot 1^2 = 3,14\]

Таким образом, площадь круга, описанного вокруг равностороннего шестиугольника со стороной 7 см, равна 3,14 квадратных сантиметра.