Яку суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії (аn) треба знайти, якщо значення a5=-0,8 та a11=-5?

Мистический_Подвижник

44

Щоб знайти суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії, спочатку нам потрібно знайти різницю між двома сусідніми членами прогресії. Ми можемо знайти цю різницю, використовуючи значення першого члена (a1) і другого члена (a2).

Давайте знайдемо різницю D:
\[D = a_2 - a_1\]

Знаючи різницю D, ми можемо знайти будь-який член арифметичної прогресії за допомогою формули:
\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot D\]

Тепер давайте знайдемо значення різниці D, використовуючи відомі значення:

\[a_5 = a_1 + (5 - 1) \cdot D = -0.8\]
\[a_11 = a_1 + (11 - 1) \cdot D = -5\]

Ми можемо створити систему двох рівнянь з двома невідомими (a1 і D) і розв"язати її, щоб знайти ці значення.

\[
\begin{cases}
a_1 + 4D = -0.8 \\
a_1 + 10D = -5
\end{cases}
\]

Тепер ми можемо розв"язати цю систему рівнянь, використовуючи різницевий метод (відняти одне рівняння від іншого):

\[
\begin{align*}
(a_1 + 10D) - (a_1 + 4D) &= -5 - (-0.8) \\
6D &= -4.2 \\
D &= -0.7
\end{align*}
\]

Тепер, коли ми знаємо значення різниці D, ми можемо знайти перший член арифметичної прогресії:

\[a_1 = a_5 - (5 - 1) \cdot D = -0.8 - 4 \cdot (-0.7) = -0.8 + 2.8 = 2\]

Тепер ми знаємо значення першого члена (a1) і різницю (D), тому ми можемо знайти суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії (a20).

Використовуючи формулу для суми перших n членів арифметичної прогресії:
\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

Знаючи a1, a20 та n (20), ми можемо обчислити суму.

\[S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (2 + a_{20})\]

Тепер залишилося знайти a20. Використовуючи формулу для обчислення члена прогресії:

\[a_{20} = a_1 + (20 - 1) \cdot D = 2 + 19 \cdot (-0.7) = 2 - 13.3 = -11.3\]

Тепер підставимо вираз для a20 у формулу суми:

\[S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (2 + (-11.3)) = 10 \cdot (-9.3) = -93\]

Отже, сума двадцяти перших членів арифметичної прогресії дорівнює -93.