Яку відстань пройшло тіло за час від 5 c. до 10 c., якщо його швидкість визначається функцією v(t) = 3+0.8t (м/с)?
Яку відстань пройшло тіло за час від 5 c. до 10 c., якщо його швидкість визначається функцією v(t) = 3+0.8t (м/с)?
Lapulya_8730 6
Для решения этой задачи нам нужно найти расстояние, которое тело пройдет за заданный интервал времени. Данная задача связана с графиком функции \(v(t)\), где \(v\) - скорость тела, а \(t\) - время.Для начала найдем скорость тела в момент времени 5 c. Подставим \(t = 5\) в функцию \(v(t)\):
\[v(5) = 3 + 0.8 \cdot 5 = 3 + 4 = 7 \, \text{м/с}\]
Таким образом, в момент времени 5 c скорость тела составляет 7 м/с.
По аналогии найдем скорость тела в момент времени 10 c:
\[v(10) = 3 + 0.8 \cdot 10 = 3 + 8 = 11 \, \text{м/с}\]
Следовательно, в момент времени 10 c скорость тела составляет 11 м/с.
Теперь, чтобы найти расстояние, пройденное телом за заданный интервал времени, мы можем воспользоваться формулой для вычисления пути, основываясь на скорости и времени:
\[S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt\]
где \(S\) - расстояние, \(t_1\) и \(t_2\) - начальный и конечный моменты времени.
Рассчитаем интеграл:
\[S = \int_{5}^{10} (3 + 0.8t) \, dt\]
Для упрощения вычислений возьмем интеграл от каждого слагаемого отдельно:
\[S = \int_{5}^{10} 3 \, dt + \int_{5}^{10} 0.8t \, dt\]
Первый интеграл является простым и равен:
\[\int_{5}^{10} 3 \, dt = 3 \cdot (t \, \big|_{5}^{10}) = 3 \cdot (10 - 5) = 3 \cdot 5 = 15 \, \text{м}\]
Второй интеграл:
\[\int_{5}^{10} 0.8t \, dt = 0.8 \cdot \int_{5}^{10} t \, dt\]
Возьмем интеграл от \(t\) по правилу:
\[\int_{5}^{10} t \, dt = \frac{t^2}{2} \, \bigg|_{5}^{10} = \frac{10^2}{2} - \frac{5^2}{2} = \frac{100}{2} - \frac{25}{2} = \frac{75}{2} = 37.5\]
Теперь подставим значение второго интеграла в исходную формулу:
\[\int_{5}^{10} 0.8t \, dt = 0.8 \cdot 37.5 = 30 \, \text{м}\]
Итак, суммируя результаты:
\[S = 15 + 30 = 45 \, \text{м}\]
Значит, тело пройдет расстояние 45 метров за интервал времени от 5 c до 10 c.