Яку з цих нерівностей виконується для всіх значень x? Поясніть. а) Чи виконується нерівність x^2-14x+49> 0?

Чудесный_Король

51

Розберемо кожну нерівність по черзі:

а) x^2-14x+49 > 0

Ця нерівність є квадратичною. Щоб з"ясувати, яку роль вона відіграє для всіх значень x, потрібно дослідити її верхню або нижню границі. Це можна зробити за допомогою дискримінанта.

Для даної нерівності дискримінант D = (-14)^2 - 4*1*49 = 196 - 196 = 0. Оскільки дискримінант дорівнює нулю, ми маємо один корінь у квадратному рівнянні.

Тож розв"язком нерівності є x = \(\frac{{14}}{{2}} = 7\).

Це означає, що для всіх значень x нерівність не виконується. Нерівність збувається тільки для x = 7.

б) -3x^2+x+2 ≤ 0

Тут також маємо квадратичну нерівність. Але щоб зрозуміти її поведінку, нам потрібно знайти корені рівняння -3x^2+x+2 = 0.

Ми можемо вирішити це рівняння, використовуючи формулу дискримінанта. Дискримінант D = (1)^2 - 4*(-3)*2 = 1 + 24 = 25. Отримуємо два корені:

x1 = \(\frac{{-1 + \sqrt{25}}}{{-6}} = \frac{{-1 + 5}}{{-6}} = \frac{{4}}{{-6}} = -\frac{{2}}{{3}}\)

x2 = \(\frac{{-1 - \sqrt{25}}}{{-6}} = \frac{{-1 - 5}}{{-6}} = \frac{{-6}}{{-6}} = 1\)

Отже, корені цього рівняння x1 = -\frac{{2}}{{3}} і x2 = 1.

Ми можемо побачити, що коефіцієнт a перед x^2 дорівнює -3, тобто негативне число. Це означає, що у квадратичній функції графік спрямований вниз.

Також помічаємо, що для x = -\frac{{2}}{{3}} нерівність набуває значення 0, а для x = 1 - це позитивне значення.

З цього випливає, що нерівність -3x^2+x+2 ≤ 0 виконується для -\frac{{2}}{{3}} ≤ x ≤ 1, тобто для всіх значень x, що належать цьому відрізку.

в) x^2-3x+4 > 0

Знову маємо квадратичну нерівність. Але цього разу її дискримінант D = (-3)^2 - 4*1*4 = 9 - 16 = -7. Оскільки дискримінант від"ємний, рівняння не має дійсних коренів.

З цього випливає, що нерівність x^2-3x+4 > 0 не виконується для жодного значення x. Нерівність завжди має значення більше 0.

г) -x^2+7x-10

Ця нерівність також є квадратичною. Подібно до попередньої нерівності, ми звертаємось до дискримінанта, щоб з"ясувати її поведінку.

Дискримінант D = (7)^2 - 4*(-1)*(-10) = 49 - 40 = 9. Отримуємо два корені:

x1 = \(\frac{{-7 + \sqrt{9}}}{{-2}} = \frac{{-7 + 3}}{{-2}} = \frac{{-4}}{{-2}} = 2\)

x2 = \(\frac{{-7 - \sqrt{9}}}{{-2}} = \frac{{-7 - 3}}{{-2}} = \frac{{-10}}{{-2}} = 5\)

Отже, корені цього рівняння x1 = 2 і x2 = 5.

Так як коефіцієнт a перед x^2 є від"ємним числом, графік спрямований вниз. І ми можемо знайти точку, в якій нерівність набуває значення нуль: x = 4.

Але оскільки ми маємо строго менше значення перед нерівністю, отримуємо -x^2+7x-10 < 0.

Таким чином, нерівність -x^2+7x-10 не виконується для жодного значення x. Нерівність завжди має значення менше 0.

Сподіваюся, ця детальна роз"яснення допомогли вам зрозуміти, яку нерівність задовольняють всі значення x для кожного випадку. Якщо у вас є будь-які питання, будь ласка, дайте знати.