Тесты А1. Какую функцию выбрать из предложенных, чтобы ее производная равнялась f(x) = 20x4? 1). F(x) = 4x5

Snegir

48

A1. Чтобы найти функцию, у которой производная равна \( f(x) = 20x^4 \), мы должны воспользоваться правилом взятия производной. Если у нас есть функция вида \( F(x) = ax^n \), где \( a \) и \( n \) - константы, то производная этой функции будет \( f(x) = anx^{n-1} \).

Используя это правило, давайте поочередно возьмем производные от всех функций, предложенных в задаче, и сравним с заданной нам функцией \( f(x) = 20x^4 \):

1) \( F(x) = 4x^5 \). Возьмем производную: \( f(x) = 5 \cdot 4x^{5-1} = 20x^4 \). Производная совпадает с заданной функцией, поэтому эта функция является решением.

2) \( F(x) = 5x^5 \). Возьмем производную: \( f(x) = 5 \cdot 5x^{5-1} = 25x^4 \). Производная не совпадает с заданной функцией, поэтому эта функция не является решением.

3) \( F(x) = x^5 \). Возьмем производную: \( f(x) = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4 \). Производная не совпадает с заданной функцией, поэтому эта функция не является решением.

4) \( F(x) = 80x^3 \). Возьмем производную: \( f(x) = 3 \cdot 80x^{3-1} = 240x^2 \). Производная не совпадает с заданной функцией, поэтому эта функция не является решением.

Таким образом, правильный ответ на задачу А1: 1). \( F(x) = 4x^5 \).

A2. Чтобы найти общий вид первообразных для функции \( f(x) = 4x^3 - 6 \), мы должны обратить процесс взятия производной. Мы должны найти функцию, производная от которой соответствует данной функции.

Мы знаем, что производная функции \( f(x) = 4x^3 - 6 \) равна \( F"(x) = 4x^3 \). Чтобы получить первообразную функцию, мы должны восстановить исходную функцию путем интегрирования.

Интегрируя функцию \( F"(x) \), получим первообразную функцию \( F(x) \), для которой \( F"(x) = f(x) \).

Интегрирование функции \( F"(x) = 4x^3 \) дает \( F(x) = \frac{4}{4} \cdot \frac{1}{4} x^4 + C \), где \( C \) - произвольная постоянная.

Упрощая выражение, получим \( F(x) = x^4 - 6x + C \).

Таким образом, правильный ответ на задачу А2: 2). \( F(x) = x^4 - 6x + C \).

A3. Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = 8x - 3 \), график которой проходит через точку \( M(1, 4) \), мы должны использовать информацию о точке на графике.

Мы знаем, что первообразная функции будет иметь вид \( F(x) = \frac{8}{2}x^2 - 3x + C \), где \( C \) - произвольная постоянная.

Чтобы найти значение \( C \), мы можем использовать информацию о точке \( M(1, 4) \). Подставим координаты точки \( M \) в выражение для \( F(x) \):

\[ 4 = \frac{8}{2} \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + C \]

\[ 4 = 4 - 3 + C \]

\[ C = 4 - 4 + 3 \]

\[ C = 3 \]

Итак, правильный ответ на задачу А3: 4). \( F(x) = 4x^2 - 3x + 3 \).

A4. Чтобы найти общий вид первообразных для функции \( f(x) = \frac{2}{x^3} \), мы должны воспользоваться правилом интегрирования. Функция \( f(x) \) представляет собой обратную функцию от \( \frac{1}{x^2} \), поэтому мы можем использовать формулу интеграла для этой функции.

Общий вид первообразных для функции \( f(x) = \frac{2}{x^3} \) будет иметь вид:

\[ F(x) = -\frac{1}{x^2} + C \]

где \( C \) - произвольная постоянная.

Таким образом, правильный ответ на задачу А4: 3). \( F(x) = -\frac{1}{x^2} + C \).